Integral gaussiana compleja con diferentes términos fuente

Question

¿Es necesario que los términos fuente que multiplican un campo complejo y su conjugado sean conjugados para que se cumpla la identidad gaussiana? Por ejemplo, ¿es

$$\int D({\phi,\psi,b}) e^{-b^\dagger A b +f(\phi, \phi^\dagger,\psi, \psi^\dagger )b +b^\dagger g(\phi, \phi^\dagger,\psi, \psi^\dagger )} = \int D(\phi,\psi) \det(A^{-1}) e^{f(...) A^{-1} g(...)} $$

válido cuando $f \ne g^* $ ?

Si cambio a coordenadas reales e imaginarias en el $b$ parece estar bien, pero me preocupa que esté arruinando la medida en $D(...)$ sin darse cuenta.

Editar:

Digamos que $A$ es un $c$ -número. Para hacer la integral puedo escribir $b = x +iy$ etc. Entonces la integral es

$$\int D(...) e^{- Ax^2 - A y^2 +x(f + g) + i y(f-g)} = \frac{\pi}{A}\int D(...) e^{(4A)^{-1}((f+g)^2 - (f-g)^2)}$$ $$=\frac{\pi}{A}\int D(...) e^{A^{-1} fg}.$$

Pero entonces esto implica que las transformaciones de Hubbard Stratonovich no necesitan ser de cuadrados.. así que puedo desacoplar cualquier interacción $$e^{2fg} = \int d \phi d\phi^\dagger e^{-|\phi|^2 +f\phi + \phi^\dagger g}.$$ ¿Esto no puede estar bien?

Answer 1

Teorema: Dada una normal $^1$ $n\times n$ matriz $A$ donde ${\rm Re}(A)>0$ es positivo definido entonces el complejo Integral gaussiana es $^2$ $$\begin{align} I&~:=~\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! d^nx ~d^ny~ \exp\left\{-z^{\dagger}Az +f^{\dagger}z +z^{\dagger}g\right\}\cr &~=~\exp\left\{f^{\dagger}A^{-1}g\right\}\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! d^nx ~d^ny~ \exp\left\{-(z^{\dagger}-f^{\dagger}A^{-1})A(z-A^{-1}g)\right\}\cr &~=~\frac{\pi^n}{\det(A)}\exp\left\{f^{\dagger}A^{-1}g\right\}, \qquad z^k~\equiv~ x^k+iy^k.\end{align}$$

Prueba de boceto:

1. La matriz normal $A=U^{\dagger}DU$ se puede diagonalizar con una transformación unitaria $U$ . Aquí $D$ es una matriz diagonal con ${\rm Re}(D)>0$ . Siguiente cambio de las variables de integración $^3$ $w=Uz$ . El valor absoluto del determinante jacobiano es 1. Por lo tanto, basta con considerar el caso $n=1$ que es lo que haremos a partir de ahora.

2. Existen dos números complejos $x_0,y_0\in\mathbb{C}$ tal que $^4$ $$ x_0-iy_0~=~f^{\dagger}A^{-1}\qquad\text{and}\qquad x_0+iy_0~=~A^{-1}g.$$

3. Podemos desplazar el contorno de integración real al plano complejo $$\int_{\mathbb{R}} \! dx \int_{\mathbb{R}} \! dy~ \exp\left\{-(z^{\dagger}-f^{\dagger}A^{-1})A(z-A^{-1}g)\right\}$$ $$~=~\int_{\mathbb{R}+x_0} \! dx \int_{\mathbb{R}+y_0} \! dy~ \exp\left\{-z^{\dagger}Az\right\}~=~\frac{\pi}{A},$$ sin que surjan nuevas contribuciones no nulas por el cierre del contorno, cf. Teorema de la integral de Cauchy . $\Box$

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$^1$ La integral gaussiana es presumiblemente también convergente para una clase pertinente de matrices no normales $A$ pero en esta respuesta sólo consideramos las matrices normales para simplificar.

$^2$ Recordemos que la notación $\int_{\mathbb{C}^n}d^nz^{\ast} d^nz$ significa $\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! d^nx ~d^ny$ hasta un factor convencional, véase mi respuesta en Phys.SE aquí . Aquí $z^k \equiv x^k+iy^k$ y $z^{k\ast} \equiv x^k-iy^k$ .

$^3$ De manera más general, en el marco de una holomorfo cambio de variables $u^k+iv^k\equiv w^k=f^k(z)$ el valor absoluto del Determinante jacobiano en la fórmula de integración por sustitución es $$ |\det\left(\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \right)_{2n\times 2n}|~=~ |\det\left(\frac{\partial w}{\partial z} \right)_{n\times n}|^2. $$

$^4$ La filosofía subyacente en el punto 2 es similar a mi respuesta de Phys.SE aquí : Uno puede en cierto sentido tratar $z$ y $z^{\dagger}$ como variables independientes. Y por lo tanto es posible considerar el caso de OP donde $f,g\in\mathbb{C}^n$ son independiente constantes complejas.

Answer 2

Teorema: Dada una $2n\times 2n$ matriz simétrica compleja $S$ donde $${\rm Re}(J^TSJ)~>~0$$ es positivo definido entonces el complejo Integral gaussiana es $$ \begin{align} I~:=~&\int_{\mathbb{C}^n} \! \left[\prod_{k=1}^n\frac{\mathrm{d}z^{k\ast} \wedge \mathrm{d}z^k}{2\pi i}\right]~ \exp\left\{ -\frac{1}{2}Z^TSZ +B^TZ\right\}\cr ~=~&\sqrt{\frac{(-1)^n}{\det(S)}}\exp\left\{\frac{1}{2}B^TS^{-1}B \right\}. \end{align} $$ Aquí hemos definido $$ \begin{align} Z~:=~&(z^1, \ldots, z^n, z^{\ast 1}, \ldots, z^{\ast n})^T, \cr B~:=~&( b^{\ast 1}, \ldots, b^{\ast n},b^1, \ldots, b^n)^T, \cr J~:=~&\begin{pmatrix} 1 & i \cr 1 & -i \end{pmatrix} \otimes \mathbb{1}_{n\times n}. \end{align}$$

Prueba de boceto:

1. Hacer una transformación de coordenadas en partes reales e imaginarias $$\begin{align} z^k~\equiv~& x^k+iy^k, \cr z^{k\ast}~\equiv~& x^k-iy^k, \cr Z~=~&JX, \cr X~:=~&(x^1, \ldots, x^n, y^1, \ldots, y^n)^T. \cr \end{align} $$ Entonces la integral se convierte en $$ \begin{align} I~=~&\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! \left[\prod_{k=1}^n\frac{\mathrm{d}x^k \wedge \mathrm{d}y^k}{\pi}\right]~ \exp\left\{ -\frac{1}{2}X^TJ^TSJX +B^TJX\right\}\cr ~=~&\sqrt{\frac{2^n}{\det(J^TSJ)}}\exp\left\{\frac{1}{2}B^TJ( J^TSJ)^{-1}J^TB \right\}. \end{align} $$ En la segunda y última igualdad utilizamos la fórmula compleja de Gauss de este Puesto de Math.SE.

2. El siguiente uso que $$\begin{align} JJ^T~=~&\begin{pmatrix} 0 & 2 \cr 2 & 0 \end{pmatrix} \otimes \mathbb{1}_{n\times n},\cr \det(JJ^T)~=~&(-2)^n, \end{align} $$ para derivar el teorema. $\Box$