Probar que no hay soluciones enteras para esta ecuación.

Question

Me gustaría saber si es posible probar que no hay soluciones enteras para:

$3n(4x^3-n^3)=y^2$ , donde $x$ , $y$ y $n$ son todos enteros positivos y $x>n$ .

No tengo idea de cómo empezar, así que cualquier comentario es bienvenido.

Gracias y saludos, Marcos.

Answer 1

Desde $n\neq 0$, se multiplica por $144/n^4$ y establezca $X=12x/n$, $Y=12y/n^2$ para obtener la curva Elíptica $$ E:Y^2 = X^3 - 432 $$ De manera que cualquier solución $(x,y,n)$ debe ser también un punto racional $(X,Y) = (12x/n,12y/n^2)$ a $E$.

Se sabe que esta curva tiene exactamente 3 puntos racionales. Es una manera de ver esto es por la reformulación como $$ (36+Y)^3 + (36-Y)^3 = 216Y^2+93312 = (6X)^3 $$ y luego el Ultimo Teorema de Fermat las fuerzas de al menos uno de $6X, 36+Y,36-Y$ a cero. Si $X=0$ no hay solución, por lo tanto $Y=\pm 36$, que a su vez las fuerzas de $X=12$. Por lo tanto los tres puntos en $E$son $$ (X,Y) = \mathcal O, (12,36),(12,-36) $$

Por lo tanto, las soluciones de $(x,y,n)$ debe satisfacer $$ (12,\pm 36) = (\frac{12}{n},\frac{12y}{n^2}) $$ Finalmente, la equiparación de la $12 = 12x/n$ da $x=n$, por lo que no existen soluciones desde que desee $x>n$.

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De una manera más directa/de forma concisa es mediante el cálculo de $$ (3n^2 + y)^3 + (3n^2 - y)^3 = 54n^6 + 18n^2y^2 = 216n^3x^3 = (6nx)^3, $$ a continuación, por el FLT al menos uno de $3n^2+y,3n^2-y,6nx$ es cero. Del mismo modo $6nx\neq 0$, con lo que conseguimos $y=\pm 3n^2$. Ambas fuerzas de $x^3=n^3$, lo $x=n$ significa que no hay soluciones a la ecuación original.