Estoy tratando de revisar para una prueba. Una de las preguntas es pedirme que encuentre una descripción más simple de estos dos anillos y no estoy seguro de lo que significan. ¿Alguna sugerencia?
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user275313
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Encontrar el ajuste más sencillo pensar acerca de cuestiones como estas son con el primer teorema de isomorfismo: si $\phi$ es un anillo homomorphism de $R$ a $S$, a continuación, $S \simeq R/\ker(\phi)$. Esto significa que usted tiene que tener alguna sospecha acerca de lo que el resultado se verá como, definir un homomorphism en ese anillo, muestran que es en y, a continuación, probar que el kernel es lo que esperaba. (Este último paso se realiza generalmente en dos partes, el establecimiento $I = \ker(\phi)$ través $I \subseteq \ker(\phi)$ e $I \supseteq\ker(\phi)$, donde $I$ es su ideal deseado.)
La otra sugerencia útil aquí es que algunos de los más fáciles de isomorphisms definido en $R[x]$ son el "punto de evaluaciones", es decir, sustituir un valor fijo para $x$ en cada polinomio.
Para ilustrar esto veamos un ejemplo muy sencillo que muestra que $R[x]/\langle x \rangle \simeq R$ para cualquier anillo de $R$. Definir $\phi : R[x] \rightarrow R$ por $ \phi: p(x) \mapsto p(0)$. Es un homomorphism porque de la manera del anillo de operaciones se definen en $R[x]$. Es sobre porque para cualquier $a \in R$ podemos definir $p(x) = x + a \in R[x]$ e $\phi(p) = p(0) = a$. Si $p(x) = x$ entonces $\phi(p) = 0$ lo $\langle x \rangle \subseteq \ker(\phi)$. Para probar la otra inclusión, suponga $q(x) \in \ker(\phi)$, lo $q(0) = 0$, es decir, el término constante de $q$ es cero, de modo que podemos tener una $x$ , es decir, podemos escribir $q$ como $x\cdot p(x)$ para algunos $p$, lo $q \in \langle x \rangle$, y esto muestra $\ker(\phi) \subseteq \langle x \rangle$. QED.
Observe que cuando decimos que queremos aprovechar $R[x]$ y mod por $\langle x \rangle$ podemos pensar en esto como queriendo "conjunto de x igual a cero", para poner A prueba su comprensión, si nos daban $R[x]/\langle x-1 \rangle$ queremos establecer $x-1$ igual a cero. Que punto de la evaluación nos permitirá hacer eso?
Ahora en su primer problema con el que desea establecer el $x^2 + x$ igual a cero. No es tan simple como el $R[x]/\langle x\rangle \simeq R$ ejemplo, pero usted puede pensar en esto como el establecimiento $x(x+1)$ igual a cero, por lo que intentan combinar el "establecimiento $x$ igual a cero" y el "establecimiento $x+1$ igual a cero" para obtener una respuesta completa.
Para el segundo problema que usted debería ser capaz de elegir el momento adecuado de evaluación para controlar "$x-2$ a cero" como su primer paso. Pero, a continuación, usted todavía tiene que manejar la $x^2 + 1$, o más exactamente, lo $x^2+1$ mapas para después de aplicar el primer homomorphism. Vaya por delante y averiguar lo que su punto de evaluación, $\phi$, debe ser, y luego dices "Bueno, quiero $\phi(x^2+1)$ a cero", y ver si eso sugiere nada.
(He escrito esto como un montón de sugerencias para ayudarle a empezar y guía de su pensamiento, por lo que todavía hay un montón de detalles para que usted pueda averiguar con uñas y hacia abajo. Siéntase libre de seguir con lo que la figura y las solicitudes de si usted siente que necesita más pistas.)
