El orden lineal del cociente generado a partir de la relación de Vitali implica la no mensurabilidad del subconjunto de los reales

Question

Relación con Vitali, $a,b\in\Bbb R;\ a\sim b\iff a-b\in\Bbb Q$ se utiliza para demostrar que existe un conjunto no medible de reales: miramos $A=\Bbb R/\sim$ de cada $a\in A$ tomamos $b_a\in a$ entonces $\bigcup_{a\in A}\{b_a\}$ es el conjunto deseado.

Esta construcción requiere una función de elección para el conjunto de potencias de $\Bbb R$ y sin algún tipo de axioma de elección no hay garantía de que dicha función exista (se puede ver, por ejemplo, en el modelo de Solovay).

Recuerdo haber leído lo siguiente:

En $\sf ZF$ , $\Bbb R/\sim$ tiene un orden lineal implica la existencia de un subconjunto no medible de los reales.

Este hecho también implicará que la compacidad implica un conjunto no medible de reales, así que mi pregunta es: ¿qué prueba hay para el teorema anterior?

Answer 1

Tomando la ayuda del comentario de @Noah y de @Wojowu:

Supongamos lo contrario, es decir, $\mathbb R/\sim$ está ordenado linealmente pero cada subconjunto $\mathbb R^2$ es medible podemos utilizar la ergodicidad:

Dejemos que $\prec$ sea el orden lineal de $\mathbb R/\sim$ y definir $x\triangleleft y\iff [x]_\sim\prec[y]_\sim$ . Entonces, o bien $\triangleleft$ tiene medida $0$ o $\triangleleft^c=\{(a,b)\mathbb R^2\mid [a]_\sim\succ[b]_\sim\}\cup\{(a,b)\mathbb R^2\mid [a]_\sim=[b]_\sim\}$ .

Podemos observar que $\{(a,b)\mathbb R^2\mid [a]_\sim=[b]_\sim\}=\bigcup_{q\in\mathbb Q}\{(x,y)\mathbb R^2\mid x-y=q\}$ que es la unión contable de líneas, por lo que tiene medida $0$ y $\{(a,b)\mathbb R^2\mid [a]_\sim\succ[b]_\sim\}$ tiene la misma medida que $\triangleleft$ por lo que en ambos casos obtenemos que la medida de $\mathbb R^2$ es $0$ , lo cual es una contradicción.