La función delimitada del operador normal compacto en el espacio de Hilbert es normal

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert y considerar la posibilidad de un compacto normal lineal operador $A:H \to H$. Por otra parte, vamos a $f$ ser un almacén de la función en el espectro de $\sigma(A)$ de $A$ y considerar la posibilidad de que el operador $f(A)$ en el sentido funcional de cálculo. Quiero mostrar que la $f(A)$ es también un operador habitual. Yo sé que un delimitada lineal operador $B:H \to H$ es normal si y sólo si $$ ||Bx||=||B^\star x|| \quad \forall x \in H,$$ que pueda ser útil en este contexto.

Answer 1

Para un compacto normal operador $A\ne 0$, hay autovalores $\lambda_n$ y las proyecciones ortogonales $P_n$ a los correspondientes subespacios propios $P_n\mathcal{H}$ con autovalor $\lambda_n$ tales que $$ A = \sum_{n} \lambda_n P_n, \;\; I=\sum_{n}P_n\\ P_n P_m = 0,\;\; n\ne m, \\ P_n^2 = P_n = P_n^*. $$ Supongamos $f$ es un almacén de función en el espectro de la $A$. A continuación, $f(A)=\sum_{n}f(\lambda_n)P_n$ es normal, debido a $f(A)^*=\sum_n \overline{f(\lambda_n)}P_n$ viajes con $f(A)$. De hecho, $$ f(A)^*f(A)=\sum_{n}|f(\lambda_n)|^2P_n=\sum_{n}|\overline{f(\lambda_n)}|^2P_n=f(a)f(A)^*. $$ Alternativamente, \begin{align} \|f(A)x\|^2 &= \|\sum_n \lambda_n P_n x\|^2 \\ & =\sum_n |\lambda_n|^2\|P_nx\|^2 \\ & =\sum_n |\overline{\lambda_n}|^2\|P_nx\|^2 = \|f(A)^*x\|^2 \end{align}

Answer 2

Para cualquier $f \in B(\sigma(A))$ tenemos $f(A) \in C^*(A)$ .

Dado que $f \mapsto f(A)$ es un $*$ -homomorfismo, también tenemos $f(A)^* = \overline{f}(A) \in C^*(A)$ .

Por lo tanto $$f(A)f(A)^* = f(A)^*f(A)$ $

ya que $ C^*(A)$ es un conmutativo $C^*$ -algebra.

Answer 3

El cálculo funcional es un $*$ -homomorfismo, y dado que el álgebra $B(\sigma(A))$ de funciones acotadas en $\sigma(A)$ es conmutativo, tenemos $$f(A)f^*(A)=(ff^*)(A)=(f^*f)(A)=f^*(A)f(A).$ $