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Question

¿Cómo podemos encontrar $$L=\limsup_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(-1)^k|\sin k|,$$ donde $|\cdot|$ indica el valor absoluto de a$\cdot$?

De acuerdo a esta respuesta, podemos ver que el límite no existe. Por desgracia, esta respuesta no es constructivo. No proporciona un método para encontrar el valor del límite.
Desde $(-1)^{2k+1}|\sin k|<0$, $$L=\limsup_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k|\pecado k|\\ =\limsup_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\Big(|\sin (2k)|-|\sin (2k-1)|\Big)$$ Me di cuenta de que si se puede estimar $\sum_{k=1}^{n}|\sin (xk)|$ a $o(1)$ plazo, se resolverá el problema, pero no tengo idea de cómo llegar a ella.

Answer 1

Tenemos $$ \left|\sin x\right| = \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{m\geq 1}\frac{\cos(2mx)}{4m^2-1} $$ por lo tanto $$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\left|\sin k\right| &=& \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{m\geq 1}\frac{1}{4m^2-1}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cos(2mk)\\&=&\frac{2}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{m\geq 1}\frac{1}{4m^2-1}\cdot\frac{\cos(m(4n+1))+\cos(mn)}{\cos m}\end{eqnarray*}$$ y si la serie $\sum_{m\geq 1}\frac{1}{m^2\left|\cos m\right|}$ fueron convergentes, su $\limsup$ sería finito. Este no es el caso, ya que los $\left|\cos m\right|$ puede ser tan pequeño como $\frac{1}{m^2}$ si $m$ se construye a partir del numerador de una convergente de $\pi$ (considerar $m=573204,m=52174$ o sólo $m=11$ desde el de Arquímedes aproximación). Y si $\cos m$ es muy cercano a cero y $n$ es incluso entonces $$ \cos(m(4n+1))+\cos(mn) = T_{4n+1}(\cos m)+T_{n}(\cos m) $$ podría ser peligrosamente cerca de $+1$ o $-1$. De hecho, la convergencia de la serie sigue a partir de un bonito maquinaria pesada, confiando en el hecho de que la irracionalidad medida de $\pi$ es finito y tenemos el teorema de Denjoy-Koksma, Erdos-Turan y Van der Corput para exponencial sumas (ver la brillante respuesta de i707107 aquí. Estoy de acuerdo con él en que la aplicación de la EMC fórmula para un no-función derivable es muy sospechoso. Yo soy menos escéptico acerca de herramientas estándar en el análisis armónico y la máxima operadores.) Además de que, en el cálculo del valor exacto de la querían $\limsup$ es extremadamente difícil y probablemente irrelevante. Esto trae a la mesa un italiano lema: $$\text{"Non ora, non noi"} $$ lo que significa que el cálculo exacto será llevado a cabo por nosotros no, no ahora.

Answer 2

Insinuación :

Usando la Serie de Fourier para $|\sin x|$ , es:

$$ | \ sin x | = \ sum_ {m = 0} ^ \ infty c_m \ cos (mx) $$