Si$[F(x)]^{100} = \int_{0}^{x} (F(t))^{100} \frac{dt}{1+\sin t}$ entonces encuentra$F(x)$

Question

Si $[F(x)]^{100} = \int_{0}^{x} (F(t))^{100} \frac{dt}{1+\sin t}$ , a continuación, encontrar $F(x)$.

Mi intento

La diferenciación de ambos lados,

$$100[F(x)]^{99} \frac{d F(x)}{dx} = \frac{F(x)^{100}}{1 + \sin x}$$ entonces $$\frac{d F(x)}{F(x)} = \frac{dx}{100(1+\sin x)}$$ y $$\int \frac{d F(x)}{F(x)} = \int \frac{dx}{100(1+\sin x)}$$ $$\log F(x) = -1/(50+50 \tan (x/2))$$ Por lo tanto $$F(x) = \exp(-1/(50+50\tan (x/2))$$ Pero, no estoy recibiendo de mi respuesta. ¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos la solución estacionaria $F(x)\equiv 0$ . Si $F(x)\not=0$ entonces, por separación de variables, $$\int \frac{d F(x)}{F(x)} = \int \frac{dx}{100(1+\sin x)} $ $ lo que implica $$\log |F(x)| = -\frac{1}{50(1+\tan (x/2))}+c.$ $ y para $x\in (-\pi,\pi)$ , $$F(x)=C\exp\left(-\frac{1}{50(1+\tan (x/2))}\right).$ $ Además, por supuesto, parece que $F(0)=0$ .