Cada$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ - módulo es proyectivo

Question

Tengo que demostrar que todos los $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$-módulo proyectivo.

He encontrado ya esta pregunta Demostrar que todos los $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$-módulo proyectivo y inyectiva. Encontrar un $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$-módulo que no es ni. pero no he definido lo que significa ser Artinian o semisimple: la prueba debe estar basado solo en el equivalente definiciones de módulos proyectivos (exactitud de la covariante Hom functor, siendo un sumando directo de un módulo de elevación de la propiedad y la división de las secuencias que terminan en el módulo).
Mi idea es utilizar el hecho de que $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \bigoplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, estos dos submódulos son proyectivos y ellos son los campos, por lo tanto todos los $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$-módulos son gratuitos. Pero no sé si se toma cualquier $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$-módulo I puede "descomponer" en una suma de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-módulo y un $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$-módulo.

Answer 1

Deje $M$ ser $\Bbb{Z}/6\Bbb{Z}$ módulo. Vamos a mostrar que $M=2M\oplus 3M$.

Si $m\in 2M\cap 3M$, a continuación, $m=2m'=3m''$ para algunos $m',m''\in M$, y esto le da $$0=6m'=3m=9m''=3m''=m,$$ por lo $2M\cap 3M=0$.

Por otro lado, $m=3m-2m$, lo $2M+3M=M$.

Por lo tanto $M=2M\oplus 3M$. Tenga en cuenta que $2M$ es $\newcommand\ZZ{\Bbb{Z}}\ZZ/3\ZZ$ módulo de e $3M$ es $\ZZ/2\ZZ$ módulo.

Por lo tanto la afirmación de que quería demostrar que es verdadero.

A continuación, $2M$ es una suma directa de copias de $\ZZ/3\ZZ$ e $3M$ es una suma directa de copias de $\ZZ/2\ZZ$, y como usted ha señalado $\ZZ/3\ZZ$ e $\ZZ/2\ZZ$ son tanto proyectivas. Por lo tanto $M$ es una suma directa de módulos proyectivos y por lo tanto proyectivas.

Answer 2

Otro estilo de prueba es: es semisimple, por lo que todas las secuencias cortas exactas se dividen, en particular, todos los módulos son inyectivos y proyectivos.