Matrices reales de n por n...

Question

Dejemos que $M_n(\mathbb{R})$ denotan el espacio vectorial de reales $n\times n$ y que $A \in M_n(\mathbb{R})$ .

La parte (a) de esta pregunta dice: Supongamos que $B \in M_n(\mathbb{R})$ tal que $AB = I_n$ (el $n \times n$ matriz de identidad. Si $C \in M_n(\mathbb{R})$ tal que $CA = 0$ , entonces demuestre que $C = 0$ .

Ya he demostrado la parte (a).

La parte (b) pregunta: Supongamos que existe un número entero positivo mínimo $m$ tal que $t_0I + t_1A + \dots + t_mA^m = 0$ para algunos $t_0, \dots, t_m \in \mathbb{R}$ con $t_m \neq 0$ . Además, supongamos que $AB = I_n$ para algunos $B \in M_n(\mathbb{R})$ Demuestra que $t_0 \neq 0$ . (Sugerencia: Utiliza el resultado de la parte (a)).

Mi idea es utilizar la inducción en $m$ . Es decir, supongamos que

$$t_0I = 0.$$

Pero esto implica que $t_0 = 0$ desde $I$ es la identidad. Pero podríamos ver esto como

\begin{align*} t_0I &= 0 \\ t_0AB &= 0 \\ t_0CAB &= 0 \\ t_0C &= 0. \end{align*}

Pero no creo que este sea el enfoque correcto. Así que tengo algunas preguntas: (i) ¿Es éste el enfoque correcto? (ii) ¿Cómo puedo utilizar correctamente el resultado de la parte (a)? (iii) ¿Cuál es un buen recurso para este tipo de preguntas? El libro que estoy utilizando es "Linear Algebra Done Right by Sheldon Axler".

¡Estoy estudiando para mi comp de álgebra lineal en unas semanas así que cualquier ayuda es apreciada!

Answer 1

Supongamos que existe $B$ tal que $AB=I$ y que $m$ es el menor número entero tal que, existen coeficientes $t_i$ tal que, $$ t_0 I + t_1 A + \cdots + t_m A^m = 0 $$

Si $t_0=0$ que tienes, $$ t_1 A + \cdots + t_m A^m = 0 $$

Ahora, mira si puedes usar el hecho de que $AB = I$ para encontrar nuevos coeficientes $t_i'$ satisfaciendo $$ t_0'I + t_1'A + \cdots t_n ' A^n = 0 $$ donde $n<m$ .

Ya que por suposición $m$ es el menor número entero tal que existe este tipo de combinación, entonces tienes una contradicción.

Me gustó ese libro como primer curso de álgebra lineal. También podrías ver si hay problemas de exámenes anteriores para estudiar. Para mí, estudiar para los exámenes depende en cierta medida del formato del examen en sí, así que es difícil dar consejos generales.

Answer 2

Sugerencia: asuma que $t_0=0$ entonces $$ t_1A+\ldots+t_mA^m=0. $$ Multiplicar por $B$ y obtener la contradicción con la minimidad de $m$ .

Answer 3

Aquí hay otra pista/solución:

• suponer que es igual a $0$ ,
• multiplique su ecuación por $A$ y el factor por $A$ ,
• utilizando la parte (a), obtener una contradicción.