Encuentre todos los caracteres irreductibles de un grupo de matriz en el campo finito$\mathbb F_5$

Question

Encontrar todos los irreductible caracteres de matriz de grupo $G =\left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\0 & a^{-1}\end{array} \right)|\,\,\, a,b \in\mathbb F_5,\no=0 \right\}$.

La primera cuestión es encontrar irreductible personajes de subgrupo de $G$

$H =\left\{ \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\0 & a^{-1}\end{array} \right)|\,\in\mathbb F_5^{\times} \right\}$ y $N =\left\{ \left( \begin{array}{cc} 1 & b \\0 & 1 \end{array} \right)|\, b\in\mathbb F_5 \right\}$ y puedo trabajar.

Pero la situación de $G$ es muy complicada de lo que pensaba.

Answer 1

(Respuesta parcial / pista, comenzando con carácter grados), estoy asumiendo que usted está tomando sobre representaciones sobre $\mathbb{C}$. Como se indicó $G=HN$, $N \lhd G$, $H \cap N=1$ con $H \cong C_4$ e $N \cong C_5$. Por lo $|G|=20$. Tenga en cuenta que $G/N \cong C_4$, de donde abelian, por lo $G' \subseteq N$. Desde $G$ no es abelian (es fácil encontrar un no-desplazamientos par de matrices de aquí) y $|N|=5$, $G'=N$. Esto significa que no se $|G:G'|=4$ caracteres lineales.

Un simple cálculo muestra que $Z(G)=\{\pm I\}$, lo que implica que $A=NZ(G)$ es un abelian (normal) subgrupo de orden $10$. Si $\chi \in Irr(G)$ es no-lineal, $\chi(1) \leq |G:A|=2$. Por lo tanto, todos los no-lineal de caracteres debe tener grado $2$. Deje $k$ el número de no-lineal de caracteres, a continuación, $20=1^2+1^2+1^2+1^2+k \cdot 2^2$, lo que implica $k=4$ y el número de caracteres (=el número de clases conjugacy) $k(G)=8$.

Answer 2

De Nicky respuesta es bastante recta hacia adelante para obtener la tabla completa. Suponiendo que el lector ha calculado las clases conjugacy. Sabemos que $C_4$ es un cociente para que podamos acabar con el trivial personajes de ella. Debemos determinar qué clases se asignan donde. Ya sabemos que la copia de $C_{10}$ en el grupo que contiene el centro, elementos de orden 10 se asignará a la involución en $C_4$. Elementos de orden 4 en $G$ se asignan a elementos de orden 4 en el cociente y involuciones a la involución. Esto, combinado con la tabla de caracteres de $C_4$ (abajo) nos da $\chi_1,\dots\chi_4$.

$$ \begin{array}{c|rrrr} \rm class&\rm1&\rm2&\rm4A&\rm4B\cr \rm size&1&1&1&1\cr \hline \rho_{1}&1&1&1&1\cr \rho_{2}&1&1&-1&-1\cr \rho_{3}&1&-1&-i&i\cr \rho_{4}&1&-1&i&-i\cr \end{array} $$

Todo lo que queda ahora es encontrar una 2-dimensiones de la representación. Podemos hacer esto mediante el cálculo del cociente de grupo $G/Z(G)$. Resulta que este es isomorfo a $D_5$ (ejercicio también es necesario anotar que las clases conjugacy ir). Ahora, se puede levantar una de dos dimensiones carácter de $D_5$ (a continuación), decir $\eta_3$ y luego se multiplica por parte de las tres caracteres lineales ya hemos calculado. Esto nos dará $\chi_4,\dots,\chi_8$.

$$ \begin{array}{c|rrrr} \rm class&\rm1&\rm2&\rm5A&\rm5B\cr \rm size&1&5&2&2\cr \hline \eta_{1}&1&1&1&1\cr \eta_{2}&1&-1&1&1\cr \eta_{3}&2&0&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\cr \eta_{4}&2&0&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\cr \end{array} $$

La tabla completa se da aquí, sin embargo, se deja al lector para calcular el conjugacy clases de forma explícita. El número en el nombre de la clase conjugacy indica el orden de los elementos en la clase, el $A$ e $B$ es distinguir las clases con elementos de la misma orden.

$$ \begin{array}{c|rrrrrrrr} \rm class&\rm I&\rm -I&\rm4A&\rm4B&\rm5A&\rm5B&\rm10A&\rm10B\cr \rm size&1&1&5&5&2&2&2&2\cr \hline \chi_{1}&1&1&1&1&1&1&1&1\cr \chi_{2}&1&1&-1&-1&1&1&1&1\cr \chi_{3}&1&-1&-i&i&1&1&-1&-1\cr \chi_{4}&1&-1&i&-i&1&1&-1&-1\cr \chi_{5}&2&2&0&0&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\cr \chi_{6}&2&2&0&0&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\cr \chi_{7}&2&-2&0&0&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}&\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\cr \chi_{8}&2&-2&0&0&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2}&\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cr \end{array} $$