Pregunta de suma infinita (identidad de Euler)

Question

Entonces, uno de mis últimos exámenes tiene la pregunta:

Mostrar: $\sum_{n=0}^\infty \frac{sin(n\theta)}{2^n} = \frac{sin(\theta)}{5-4cos(\theta)}$

Mi trabajo:

$e^{in\theta} = cos(n\theta) + isin(n\theta)$

Por lo $sin(n\theta)$ es la parte imaginaria de $e^{in\theta}$

Así tenemos: $\mathbb I(\sum_{n=0}^\infty (\frac{e^{i\theta}}{2})^n)$

Mediante la suma de la fórmula de series geométricas infinitas:

$=\frac{1}{1-\frac{e^{i\theta}}{2}}$

Y después de multiplicar por el conjugado complejo de que tengo la parte imaginaria a ser

$= \frac{2sin(\theta)}{5-4cos(\theta)}$

Cualquier ayuda sería genial, gracias!

Answer 1

Probando ... si $\theta=\frac{\pi}{2}$ , la serie original es $\frac1{2^1}-\frac1{2^3}+\frac1{2^5}-\frac1{2^7}+\cdots =\left(\frac12-\frac18\right)\left(1+\frac1{2^4}+\frac1{2^8}+\cdots\right)$, que se convierte en $\frac38\cdot\frac{16}{15}=\frac25$

La respuesta oficial reclama $\frac{1}{5-4\cdot 0}=\frac15$ . El suyo reclama $\frac{2}{5-4\cdot 0}=\frac25$ . Tu cálculo es correcto y la respuesta oficial es incorrecta.