¿Por qué las propiedades de los determinantes (utilizadas para calcular determinantes de múltiples matrices) se aplican no solo a las filas, sino también a las columnas?

Question

Un conjunto de reglas en mi libro de texto es el siguiente:

a. Si $A$ tiene una fila (columna) cero, entonces $\det A = 0$

b. Si $B$ se obtiene intercambiando dos filas (columnas) de $A$, entonces $\det B = -\det A$

c. Si $A$ tiene dos filas (columnas) idénticas, entonces $\det A = 0$

d. Si $B$ se obtiene multiplicando una fila (columna) de $A$ por $k$, entonces $\det B = k\cdot\det A$

e. Si $A$, $B$ y $C$ son idénticos excepto que la fila (columna) $i$-ésima de $C$ es la suma de las filas (columnas) $i$-ésimas de $A$ y $B$, entonces $\det C = \det B + \det A$

f. Si $B$ se obtiene sumando un múltiplo de una fila (columna) de $A$ a otra fila (columna), entonces $\det B = \det A$

No entiendo por qué "columna" está entre paréntesis después de cada instancia de fila. ¿Es lo mismo que decir, por ejemplo, con la cláusula a: "si $A$ tiene una fila cero o una columna cero, entonces $\det A = 0$"? Es decir, ¿está diciendo que columna y fila pueden usarse indistintamente en la declaración, ya que la declaración es verdadera de cualquier manera?

Si la interpretación anterior es correcta, ¿cómo? ¿Por qué estas declaraciones que se aplican a las filas también se aplican a las columnas? La única situación en la que podría ver que se aplica es si la matriz es simétrica, pero la pregunta no especifica eso, solo dice que la matriz es cuadrada.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

El truco es que $\det A^T=\det A$. Por lo tanto, si hay una columna de ceros en $A$, hay una fila de ceros en $A^T$, lo que implica que $\det A^T=0$. Puedes comprobar todos los otros resultados de copiar y pegar a columna de esa manera.

Answer 2

Eso se debe a que tu libro de texto no está realmente explicando los determinantes en absoluto para darte alguna intuición. Simplemente enumera un montón de sus propiedades.

La clave a recordar es que $\det A$ es el factor de escala volumétrico de una matriz $A$ (es decir, $A$ escala el volumen del cubo unitario por $\det A$).
Si has visto los valores propios, esto significa que $\det A$ es el producto de los valores propios de $A$. (Esto puede ser un poco impactante la primera vez que te das cuenta, si ya has aprendido álgebra lineal durante algún tiempo.)

Si partes de esto, entonces es mucho más fácil ver por qué las filas y las columnas no marcan la diferencia:

• El cubo unitario está representado por sus aristas ortogonales a través de $I$, la matriz identidad.

• Multiplicar por la derecha por $I$ (que es una operación que combina linealmente las columnas de $A$) da el mismo resultado ($A$) que multiplicar por la izquierda por $I$ (que es una operación que combina linealmente las filas de $A$)

El hecho de que obtengamos el mismo sólido de salida independientemente de si operamos en las filas o columnas de $A$ significa que el factor de escala es el mismo y, por lo tanto, el determinante es el mismo.