¿Por qué usamos operadores en la mecánica cuántica?

Question

En la mecánica clásica, las cantidades físicas, como por ejemplo las coordenadas de posición, velocidad, momento, energía, etc., son números reales, pero en mecánica cuántica se convierten en operadores. ¿Por qué es así?

Answer 1

La respuesta corta es que puedes tratar los observables clásicos como operadores si quieres, pero el álgebra de observables que realmente describe el mundo resulta ser no conmutativa. O en otras palabras, a la pregunta:

• Si el estado de un sistema físico está completamente determinado en términos de resultados definitivos de algún(os) observable(s), ¿todavía se pueden hacer mediciones que no estén definitivamente determinadas?

La mecánica cuántica responde "sí", y eso es justo lo que encontramos en el mundo, por ejemplo, para un simple spin- $0$ una posición definida determina completamente el estado (eigenestado de posición), pero no da lugar a un resultado definido para una medición del momento. etc.

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En la mecánica clásica en la formulación hamiltoniana, los observables no son números, sino funciones (o distribuciones) sobre el espacio de fase. En términos de las coordenadas canónicas de posición y momento $(q;p)$ Algunos de los sospechosos habituales tienen formas particularmente simples, por ejemplo, la energía cinética de una partícula $T(q;p) = p^2/2m$ . La evolución temporal de un observable clásico viene dada por la ecuación de Hamilton $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,\mathcal{H}\}\text{,}$$ donde $\{\cdot,\cdot\}$ es el corchete de Poisson y $\mathcal{H}$ es el hamiltoniano.

El producto o la suma de dos observables cualesquiera es un observable, y matemáticamente, el corchete de Poisson es tanto un corchete de Lie como una derivación. Los detalles de esto los puedes buscar por tu cuenta, pero el efecto inmediatamente relevante es que los observables clásicos forman un álgebra de Poisson conmutativa, un subtipo de álgebra de Lie.

Una vez que uno se acostumbra a pensar en los observables como si formaran un álgebra, aparecen naturalmente algunas preguntas:

• ¿Nuestra álgebra recoge realmente todos los observables físicos, todo lo que podemos medir se corresponde con algo en el álgebra de los observables clásicos? Si no es así, ¿requieren los observables físicos aflojar un poco las reglas de esta álgebra, por ejemplo, haciéndola no conmutativa?

Resulta que la respuesta es que el álgebra necesaria para describir el mundo es, efectivamente, no conmutativa, aunque, por supuesto, no fue descubierta históricamente por esta analogía.

En cuanto al porqué de los operadores lineales en particular, es porque funciona -aunque la razón por la que podíamos esperar que funcionara es que una clase bastante general de álgebras puede representarse como operadores lineales en un espacio de Hilbert complejo. Esa es la esencia del teorema de Gel'fand-Naĭmark sobre $C^\star$ -algebras.

Como curiosidad interesante, la mecánica clásica puede formularse utilizando funciones de onda/kets en un espacio de Hilbert complejo, con observables físicos representados por operadores y la medición siendo probabilística, al igual que en la mecánica cuántica. Ni siquiera es tan extraño, ya que se convierte en una reformulación complejizada de la ecuación clásica de Liouville (que maneja distribuciones de probabilidad sobre el espacio de fase).

El formalismo común de la QM es bastante general y es completamente capaz de manejar la mecánica clásica; donde no están de acuerdo es en que Los operadores representan cosas que realmente medimos en el mundo.

Answer 2

En la mecánica clásica, las magnitudes físicas, como por ejemplo las coordenadas de posición, velocidad, momento, energía, etc., son números reales, pero en la mecánica cuántica se convierten en operadores. ¿Por qué es así?

Las discrepancias de las teorías clásicas con los resultados experimentales hicieron necesaria la formulación de una nueva teoría. La radiación del cuerpo negro requería un modelo de osciladores armónicos que pudiera emitir en unidades de h*nu para dar resultados finitos y no entrar en el modo de catástrofe ultravioleta. Los espectros de los átomos recién descubiertos mostraban niveles de energía discretos que requerían el modelo de Bohr . Los datos no podían encajar en el molde clásico. Los niveles de energía sugerían que obedecían a ecuaciones que darían ondas estacionarias, similares a la cuerda clásica con sus ondas estacionarias. Lea sobre el antecedentes históricos que conducen a ecuaciones que describen la naturaleza cuántica observada.

La teoría se fue construyendo poco a poco, se descubrió que los números complejos eran necesarios para las soluciones de las ecuaciones y se encontró que la suposición de que la función de onda al cuadrado era una distribución de probabilidad explicaba los datos. Luego, la analogía de las formas de las ecuaciones diferenciales con el hamiltoniano condujo a la identificación de operadores en lugar de variables simples para los valores medios esperados de las variables. Fue un proceso por ensayo y error y luego despegó.

Answer 3

Esto se debe a que en la mecánica cuántica el lenguaje matemático es el álgebra lineal. Los operadores utilizados en la mecánica cuántica pueden decidir los valores propios, los estados propios y también hacer transformaciones en los estados cuánticos, etc.