¿Es la perspectiva de las formas diferenciales en $dx$ ¿incompatible con la técnica de la diferenciación implícita?

Question

Supongamos que $$x^2 + y^2 = 5^2.$$ Estamos tratando de encontrar $dy/dx$ en $(3,4).$

Aplicando $d$ a ambas partes: $$2x dx + 2y dy = 0$$

O en otras palabras:

$$2x dx + 2y dy = 0dx + 0dy$$

Dado que los covectores $dx_p$ y $dy_p$ forman una base para el espacio cotangente en cualquier $p \in \mathbb{R}^2$ Por lo tanto $2x = 0$ y $2y = 0.$ Por lo tanto, $x = 0$ y $y = 0$ . Ergo $0^2 + 0^2 = 5^2$ una contradicción.

Pregunta. ¿Significa esto que la perspectiva de las formas diferenciales en $dx$ es incompatible con la técnica de la diferenciación implícita?

Si no, ¿por qué no?

Si es así, ¿qué definición de $dx$ ¿se puede utilizar para evitar este problema?

Answer 1

Lo que te falta es que este cómputo no tiene lugar en $\mathbb{R}^2$ : tiene lugar en el submanifold $M$ de $\mathbb{R}^2$ definido por la ecuación $x^2+y^2=5^2$ ¡! Podemos considerar $x$ y $y$ como funciones suaves en $M$ y estas funciones suaves satisfacen $x^2+y^2=5^2$ en cada punto de $M$ . Así, podemos diferenciar y deducir que $$2xdx+2ydy=0$$ en cada punto de $M$ . Esto no es una contradicción, porque $dx$ y $dy$ son secciones del haz cotangente de $M$ no el haz cotangente de $\mathbb{R}^2$ (son el retroceso del habitual $dx$ y $dy$ en $\mathbb{R}^2$ a $M$ ).

Tenga en cuenta que en $\mathbb{R}^2$ no se puede diferenciar la ecuación $x^2+y^2=5^2$ ya que en realidad no se trata de una ecuación de funciones es sólo una ecuación que es verdadera en algunos puntos de $\mathbb{R}^2$ . Incluso en un punto donde la ecuación es verdadera, no se puede esperar que el diferencial de $x^2+y^2$ sea igual al diferencial de $5^2$ ya que hay puntos cercanos en los que las dos funciones no son iguales. Pero no tenemos este problema cuando restringimos a $M$ ya que $x^2+y^2$ y $5^2$ son realmente la misma función en $M$ .

(La justificación de cálculo elemental para esta diferenciación implícita es decir que no estamos diferenciando en $\mathbb{R}^2$ pero que en cambio estamos considerando $x$ y $y$ como funciones de alguna otra variable $t$ mediante una parametrización de nuestra curva, y luego diferenciando con respecto a $t$ . (O, si encontramos $dy/dx$ como usted sugiere, estamos tratando $y$ en función de $x$ localmente en la curva para que el parámetro sea $x$ sí mismo). De hecho, esto es exactamente lo mismo que el enfoque del colector cuando se desenvuelven todas las definiciones, ya que el diferencial en $M$ se define en términos de diferenciación en una parametrización local).