Integral con dos respuestas diferentes utilizando análisis real y complejo.

Question

La integral es$$\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dθ}{2-\cosθ}.$$Just to skip time, the answer of the indefinite integral is $\dfrac2{\sqrt{3}}\bronceado^{-1}\left(\sqrt3\tan\left(\dfracθ2\right)\right)$.

La evaluación de $0$ a $ 2 \pi$ rendimientos$$\frac2{\sqrt3}\tan^{-1}(\sqrt3 \tanπ)-\frac2{\sqrt3}\tan^{-1}(\sqrt3 \tan0)=0-0=0.$$But using complex analysis, the integral is transformed into$$2i\int_C\frac{\mathrm dz}{z^2-4z+1}=2i\int_C\frac{\mathrm dz}{(z-2+\sqrt3)(z-2-\sqrt3)},$$ donde $C$ es el límite del círculo de $|z|=1$. Entonces por Cauchy de la integral de la fórmula, ya $z=2-\sqrt3$ está dentro del dominio de la región delimitada por $C$, entonces: $$2i\int_C\frac{\mathrm dz}{(z-2+\sqrt3)(z-2-\sqrt3)}=2πi\frac{2i}{2-\sqrt3-2-\sqrt3}=2πi\frac{2i}{-2\sqrt3}=\frac{2π}{\sqrt3}.$$

El uso de análisis real I get $0$, utilizando el análisis complejo I get $\dfrac{2π}{\sqrt3}$. Lo que está mal?

Answer 1

El problema con el verdadero enfoque es el que hace el cambio de variable $t=\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ para $0 < \theta < 2 \pi$.

Esto es problemático, ya que su sustitución es necesario definir y continua para todos los $\theta$, pero tiene un problema al $\theta=\pi$.

Edit: tenga en cuenta que si usted dividir la integral en $\int_0^\pi+\int_\pi^{2 \pi}$, usted va a obtener la respuesta correcta, como para una integral que se va a conseguir $\arctan(- \infty)$ y para el otro $\arctan(+\infty)$:

$$\int_0^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}q}{2-\cos \theta}=\int_0^\pi \frac{\mathrm{d}q}{2-\cos \theta}+\int_\pi ^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}q}{2-\cos \theta}\\ = \lim_{r \a \pi_-} \int_0^r \frac{\mathrm{d}q}{2-\cos \theta}+ \lim_{w \a \pi_+} \int_w^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}q}{2-\cos \theta}\\= \lim_{r \a \pi_-} \left(\frac{2\tan^-1( \sqrt{3} \tan( \frac{ r}{2}))}{ \sqrt{3}}-0\right)+ \lim_{w \a \pi_+}\left(0- \frac{2\tan^-1( \sqrt{3} \tan( \frac{ r}{2}))}{ \sqrt{3}}\right).$$

Answer 2

Tenga en cuenta que la función tangente, $\tan(x)$ , es discontinua cuando $x=\pi/2+n\pi$ . Por lo tanto, la antiderivada $\frac2{\sqrt{3}} \arctan\left(\sqrt 3 \tan(\theta/2)\right)$ no es válida en el intervalo $[0,2\pi]$ .

En cambio, tenemos

PS