Significado del producto interior $\langle \vec{r} | \psi(t)\rangle $

Question

Me he encontrado con la ecuación que sale de la nada en el libro de Zettili Conceptos y aplicaciones de la mecánica cuántica p. 167:

$$\psi(\vec{r},t) ~=~ \langle \vec{r} \,|\, \psi(t) \rangle.$$

¿Cómo sé que recibo función de la posición y el tiempo si tomo un producto interno de un vector de estado con un vector $\vec{r}$ ? ¿Dónde están las pruebas?

Answer 1

La prueba no es probablemente la palabra correcta ya que la expresión $\Psi(x,t) = \langle{x}|{\Psi(t)}\rangle$ es en realidad el definición de la función de onda del espacio de posición.

Base en un espacio vectorial de dimensión finita

Cualquier vector $|v\rangle$ de algún espacio vectorial de dimensión finita $V(F)$ puede escribirse como una combinación lineal de vectores base $|e_{i}\rangle$ a partir de una base ordenada $( |e_{i}\rangle )_{i=1}^{n}$ $$ |v\rangle = \sum\limits_{i}^{n} c_{i} |e_{i}\rangle \, , \quad (1) $$ donde $c_{i} \in F$ .

Y decimos que con respecto a la base ordenada elegida $( |e_{i}\rangle )_{i=1}^{n}$ cualquier vector $|v\rangle$ puede ser únicamente representado por una colección ordenada, o $n$ -de los coeficientes en su expansión lineal sobre la base $$ |v\rangle \longleftrightarrow ( c_{i} )_{i=1}^{n} \, . $$

Espacios de producto interno de dimensión finita

Ahora bien, si tenemos un tipo especial de espacio vectorial -un espacio de producto interno- un espacio vectorial con un producto interno, es decir, un mapa $I(|v\rangle, |w\rangle)$ de la siguiente forma \begin{equation} I(|v\rangle, |w\rangle): V(F) \times V(F) \to {F} \, , \end{equation} con algunas propiedades definidas para dos vectores cualesquiera $|v\rangle$ y $|w\rangle$ del espacio de vectores, sabemos cómo los coeficientes $c_{i}$ parece. Tomando el producto interior de ambos lados de la ecuación (1) con algún vector base $|e_{j}\rangle$ da $$ I(|e_{j}\rangle, |v\rangle) = \sum\limits_{i}^{n} c_{i} I(|e_{j}\rangle, |e_{i}\rangle) \, . \quad (2) $$ Ahora bien, como siempre podemos ortonormalizar nuestro conjunto de bases de manera que $$ I(|e_{j}\rangle, |e_{i}\rangle) = \delta_{ji} \, , $$ donde $\delta_{ji}$ es el delta de Kronecker \begin{equation} \delta_{ji} = \left\{ \begin{matrix} 0, & \text{if } j \neq i \, ; \\ 1, & \text{if } j = i \, . \end{matrix} \derecha. \fin{ecuación} La ecuación (2) se convierte en $$ I(|e_{j}\rangle, |v\rangle) = c_{j} \, . $$

Eso es todo, básicamente. Cada coeficiente $c_{i}$ en la ecuación (1) en el espacio del producto interior viene dada por $I(|e_{i}\rangle, |v\rangle)$ .

Ah, y si el espacio del producto interior es completo, es decir, es un espacio de Hilber, entonces casi siempre utilizamos la siguiente notación para un producto interior $$ I(|v\rangle, |w\rangle) = \langle v | w \rangle \, , $$ que es otra historia y así con respecto a la base ordenada elegida $( |e_{i}\rangle )_{i=1}^{n}$ cualquier vector $|v\rangle$ en el espacio de Hilbert puede ser unívocamente representado por una colección ordenada, o $n$ -de los coeficientes $c_{i}$ dado por $\langle e_{i} | v \rangle$ $$ |v\rangle \longleftrightarrow ( \langle e_{i} | v \rangle )_{i=1}^{n} \, . $$

Espacio de Hilbert de dimensión infinita

Tenemos un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita $H(\mathbb{C})$ y queremos ampliar el vector de estados $|\Psi(t)\rangle$ sobre un conjunto de vectores propios de algún operador autoadjunto que representa algún observable.

Si el espectro del operador autoadjunto $\hat{A}$ es discreto entonces uno puede etiquetar los valores propios usando alguna variable discreta $i$ \begin{equation} \hat{A} |a_{i}\rangle = a_{i} |a_{i}\rangle \, , \end{equation} y la expansión del vector de estado tiene la siguiente forma $$ |\Psi(t)\rangle = \sum\limits_{i}^{\infty} c_{i}(t) |a_{i}\rangle, \quad \text{where} \quad c_{i}(t) = \langle a_{i} | \Psi(t) \rangle \, . $$ Así que tienes un conjunto de coeficientes discretos $c_{i}(t)$ que puede utilizarse para representar el vector de estado. Cada $c_{i}$ es básicamente un número complejo, pero este número es diferente en diferentes momentos y por eso se escribe como $c_{i}(t)$ .

Pero si el espectro del operador autoadjunto es continuo entonces no es posible utilizar una variable discreta para etiquetar los valores propios, sino que $a$ en la ecuación de valores propios \begin{equation} \hat{A} |a\rangle = a |a\rangle \, , \end{equation} debe interpretarse como una variable continua que se utiliza para etiquetar los valores propios y los correspondientes vectores propios, y la expansión del vector de estado es como \begin{equation} |\Psi(t)\rangle = \int\limits_{a_{min}}^{a_{max}} c(a,t) |a\rangle \, \mathrm{d}a, \quad \text{where} \quad c(a,t) = \langle a | \Psi(t) \rangle \, . \end{equation} Así, los coeficientes de la expansión no vienen dados por un conjunto de números complejos etiquetados mediante una variable discreta, sino como una función de valor complejo de variable continua. Pero esta función $c(a,t)$ juega el mismo papel: determina los coeficientes de la expansión. Esta vez, sin embargo, se necesita un coeficiente para todos y cada uno de los valores de la variable continua $a$ y por eso están dadas por una función. Y de nuevo estos coeficientes diferentes en diferentes momentos.

Operador de posición $\hat{X}$ tiene un espectro continuo. En el caso más simple - una partícula en una dimensión espacial - la variable $x$ en $$ \hat{X} |x\rangle = x |x\rangle \, , $$ representa una posición de la partícula y recorre todos los valores posibles de posición en una dimensión espacial, es decir $x \in \mathbb{R}$ y el vector de estado se expande sobre el conjunto de vectores propios $|x\rangle$ como \begin{equation} |\Psi(t)\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Psi(x,t) |x\rangle \,\mathrm{d}x, \quad \text{where} \quad \Psi(x,t) = \langle{x}|{\Psi(t)}\rangle \, . \end{equation}

Answer 2

No hay nada que demostrar; sólo hay que hacer las siguientes definiciones:

Que un elemento $|\psi\rangle$ del espacio de Hilbert $\mathcal H$ de una partícula que se mueve en tres dimensiones sea dada. Sea $|\mathbf x\rangle$ denotan un estado propio simultáneo de los operadores de posición $X,Y,Z$ correspondiente a los valores propios $x,y,z$ donde $\mathbf x = (x,y,z)$ . Entonces, para cada $\mathbf x\in\mathbb R^3$ el producto interior $$ \langle \mathbf x|\psi\rangle $$ es un número complejo. Por lo tanto, podemos definir una función $\psi:\mathbb R^3\to\mathbb C$ de la siguiente manera: $$ \psi(\mathbf x) = \langle \mathbf x|\psi\rangle $$ Si, en cambio, $|\psi(t)\rangle$ es una función $\mathbb R\to\mathcal H$ cartografía $t\mapsto |\psi(t)\rangle$ , entonces para cada $(t,\mathbf x)\in \mathbb R\times\mathbb R^3$ el producto interno $$ \langle \mathbf x|\psi(t)\rangle $$ es un número complejo, y nosotros definir una función $\psi:\mathbb R\times\mathbb R^3\to\mathbb C$ por $$ \psi(t,\mathbf x) = \langle \mathbf x|\psi(t)\rangle $$

La motivación de estas definiciones es que cuando la función $\psi$ se define así, es la representación del estado $|\psi\rangle$ en la "base" $|\mathbf{x}\rangle$ que consiste en vectores propios del operador de posición.

Para más detalles, véase la gran discusión del usuario kemiisto.

Answer 3

No entiendo por qué entre todas las posibilidades elegimos el producto interior?

(1) Los estados propios de posición están completos:

$$1 = \int \mathrm{d}x \, |x\rangle \, \langle x |$$

(2) El estado, expresado como una "suma" ponderada de estados propios de posición en la que los pesos vienen dados por la amplitud de probabilidad, es decir, la función de onda de posición:

$$|\psi(t)\rangle = \int \mathrm{d}x \, |x\rangle \, \psi(x,t)$$

(3) Ahora, dejemos que (1) opere sobre el estado:

$$|\psi(t)\rangle = \int \mathrm{d}x \, |x\rangle \, \langle x |\psi(t)\rangle $$

Para ver eso:

$$\psi(x,t) = \langle x |\psi(t)\rangle$$

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¿Está esto |x⟩⟨x| definido?

Es un operador que "proyecta" un estado arbitrario "en la dirección" del estado $|x\rangle$ . Véase, por ejemplo, Operadores de proyección y completitud .

¿Cómo conseguimos el 2º eq desde el primero?

No es así. (2) simplemente expresa la propiedad fundamental de un espacio vectorial de que cualquier estado en el espacio puede expresarse como la suma ponderada de los estados de la base. Por ejemplo, también podríamos escribir el estado en términos del impulso estados propios:

$$|\phi(t)\rangle = \int \mathrm{d}k \, |k\rangle \, \phi(k,t)$$

donde $\phi(k,t)$ es la función de onda del momento y:

$$\phi(k,t) = \langle k |\phi(t)\rangle$$