Luchando con la "técnica" basado en las matemáticas, la gente puede relacionarse con esto? Y qué, si algo, se puede hacer al respecto?

Question

Soy un 3er año de licenciatura, con mención en matemática pura. He hecho bien en la "prueba" basado en las materias que me he tomado, y creo que es porque entiendo que las "reglas del juego". Es decir, la lī ogica de + cómo escribir una coherente de la prueba. Además, las personas que son explícitos acerca de lo que significan, indicando sus instalaciones, cuantificando de forma explícita (para todo $x$ existe $y$ que...), la distinción entre "a implica B" y "Un iff B", etc. Obviamente, esto realmente ayuda.

Recientemente, sin embargo, me he estado encontrando que "la técnica de base" (como opuesto a "prueba-basado") de los sujetos como complejo el análisis, cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales, etc. están empezando a frustrarme, y estoy empezando a obtener malas notas, demasiado. Es como cuando estoy sentado en estas conferencias, la "lógica" de las matemáticas, de repente se vuelve opaco. Nunca puedo decir lo que el recinto está. Yo a menudo no sabemos si estamos tratando de demostrar que "a implica B", o si estamos tratando de demostrar que "Un iff B". La materia que está sucediendo en el tablero, pero las "reglas del juego" simplemente no están claras para mí.

¿Alguien más tiene un problema similar con la "técnica" basado en las matemáticas? Y si es así, ¿qué se puede hacer al respecto?

Permítanme darles un ejemplo. A continuación, he copiado algunos de este problema de Wikipedia, y he insertado mis propios pensamientos en cursiva.

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Un separables lineal de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden debe ser homogéneo y tiene la forma general $$(1)\qquad \frac{dy}{dt}+f(t)y=0.$$

donde $f(t)$ es alguna función conocida.

No sé si (1) se toma como premisa o no.

Podemos resolver esto a través de la separación de variables (mover el $y$ los términos a un lado y el $t$ términos para el otro lado).

$$(2)\qquad\frac{dy}{y}=-f(t)dt$$

Estás afirmando que (2) se sigue de (1), o está usted diciendo son lógicamente equivalentes? Y yo todavía no sé si la ecuación (1) es una premisa, o lo que nuestras instalaciones están.

Desde la separación de variables en este caso consiste en dividir por $y$, debemos comprobar si la constante de la función $ $ y=0$ es una solución de la ecuación original. Trivialmente, si $ $ y=0$ entonces $y'=0$, entonces $ $ y=0$ es realmente una solución de la ecuación original. Tomamos nota de que el $ $ y=0$ no está permitido en la transformada de la ecuación.

Claramente, si $$ y está en todas partes de cero, entonces la ecuación (1) se mantiene. Pero ¿qué es todo esto "debemos revisar la" tontería? Estás tratando de decir que el enunciado "la función $$ y es cero en todas partes, o la ecuación (2) sostiene que" es lógicamente equivalente a la afirmación de que "la ecuación (1) se mantiene?" Si eso es lo que está significado, ¿por qué no lo dices? Si el argumento se acaba de presentar de manera coherente, tonterías como "tenemos que revisar" simplemente no aparecen.

Vamos a resolver la transformada de la ecuación con las variables que ya han sido separados por la integración, $$(3) \qquad \mathrm{ln} \,y = \left(-\int f(t)dt\right)+C$$ donde $C$ es una constante arbitraria.

Estás tratando de decir que si (2) se mantiene, entonces existe $C$ tal que (3) se mantiene? Entonces, ¿por qué no lo dices? O tal vez usted está tratando de decir que para todo $C$, (3) tiene el fib (2) se mantiene. Honestamente, no puedo decir.

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Así obtendrá la esencia general. Así que mi pregunta es, ¿pueden otras personas se refieren a esto, y qué puede hacerse al respecto?

Answer 1

De hecho, me pueden relacionarse bastante bien para esto. Por favor no tome esto a mal, pero mi principal consejo sería:

Deja de preocuparte!

Por esto no quiero decir que usted no debe preocuparse acerca de su grados empeorando. Pero aunque parece que se han entrenado a sí mismo para sólido, riguroso pensamiento en la prueba de decisión y tal, todavía no has aprendido simplemente a aplicar las técnicas, y la preocupación más tarde. Usted necesita aprender a:

(a) vive con imprecisión,
(b) aceptar temporalmente la incertidumbre, y
(c) el enfoque, al menos por un tiempo, en hacer un simple ejercicio que se puede encontrar aburrido, más y más.

Espero que esto no golpeará como un tonto programa de auto-ayuda, y una palmadita en la espalda que todo estará bien. Esto no es fácil, y, cuando mucho más joven, me encontré en una situación similar. En mis matemáticas estudios de pregrado, todo estaba en pruebas. Y luego estudié en Francia y quedó impresionado por la habilidad del estudiante promedio de simplemente hacer las cosas, y hacerlo rápido y bien (he tenido experiencias similares con los físicos teóricos en todas partes). Pero mientras que el francés educativos de élite sistema tiende a producir este tipo de estudiantes, es también más que nada por el simple resultado de haber sido forzado a hacer la misma serie majorization una y otra, y otra vez (hasta el punto de que algunos de mis compañeros de los estudiantes tenían que recuperarse de colapsos mentales); y en el caso de los físicos, de haber crecido en un mundo de aproximación. Pero en mi antigua escuela solía decir también que los mejores matemáticos fueron los físicos teóricos.

A partir de lo que usted escribe, usted parece bien equipados para manejar lo que se enfrenta. Pero donde se ve una ecuación y se preguntan acerca de donde encaja en un gran esquema, los demás se acaba de resolver. Así que deja que. Se necesita mucho de la repetición para llegar allí. Si no son, naturalmente, el tipo de esta, se consigue, por ejemplo, algunos

Schaums del Contorno, o
GRE math preparación de material.

El material cubierto allí es en gran parte aburrida y repetitiva, sino que además provee de mucho entrenamiento. Así que también requiere tiempo y esfuerzo; pero si poner esto en, y aprender a no pensar en exceso de todo, creo que sus posibilidades son buenas para cambiar resultados bastante rápido.

De cómo te describes a ti mismo, es probable que tome más tiempo para realmente interiorizar esto que para elevar sus grados de nuevo. Si usted necesita una motivación extra, incluso para el éxito de la prueba haciendo que usted necesita para aprender a lidiar con las lagunas. Un (simple) de papel podrían ser el resultado de algunas líneas escritas que usted siente puede ser cierto, y confías en ti mismo te va a llenar los detalles más tarde. No se preocupe acerca de ellos por ahora. Mi tesis principal es el papel de un espacio en el medio no podía resolver por 2 años. Seguí escribiendo, y, finalmente, mediante la lluvia de ideas con alguien mucho mejor que yo vimos cómo se podía hacer. Esto no es tan diferente a su problema: resolver la educación a distancia; luego, más tarde, cuando tenga tiempo, pensar en ello, y leer un poco de teoría.

Usted debe también tener en cuenta que las manipulaciones como la de arriba eran lo que la de Leibniz y Bernoullis etc hizo sobre una base regular, a menudo sin tener una prueba de que iba a vivir hasta para los estándares de hoy. Una visión profunda de la que se puede derivar a partir del dominio de técnicas sencillas, así que tírate por detrás de las que en el futuro cercano. La buena suerte.

Answer 2

Creo que me identifico un poco, de ser un físico que encuentra algunos problemas presentados en la física de los textos son un poco opaco, mientras que la matemática pura tiende a ser mucho más precisa acerca de las declaraciones y definiciones. Tomar más puro de matemáticas me ha dado una mayor comprensión de la física de los problemas con los que trabajo.

Creo que una manera de ayudar a superar este problema es simplemente por la exposición. Permítanme tratar de iluminar lo que está pasando con esto de la wikipedia problema.

Sin duda, yo no soy muy versado en la lógica formal, así que no puedo evaluar lo que es y no es una "premisa." Aún así, voy a tratar de aclarar lo que está pasando.

En primer lugar, permítanos asumir que existe una función $$ y obedecer la ecuación diferencial (1), y debemos construir un medio de recuperar $y(t)$ dada por $f(t)$.

Si $y(t) \neq 0$ para todo $t$ en el dominio de $y$, entonces la ecuación (2) es equivalente a la ecuación (1). La ecuación (2) es equivalente a la ecuación (3), para todos los posibles constantes $C$. Este recupera $y(t)$ siempre $y(t) \neq 0$ para todo $t$. (*Tenga en cuenta que la ecuación (3) en realidad no terminar de recuperación de $y(t)$. Usted necesita para deshacerse de los logaritmos, pero este es un trivial de paso que el escritor claramente ni siquiera consideran la pena.)

Si $y(t) = 0$ $t = t_0$, entonces la ecuación (2) no es equivalente a la ecuación (1). Sin embargo, $y(t_0) = 0$ y la ecuación (1), junto implica que $dy/dt = 0$. Para ser honesto, me parece un montón de la lógica aquí incompleta; ellos quieren ir directamente a la consideración de $y(t) = 0$ doquier sin tener en cuenta $y(t_0) = 0$ para sólo un punto aislado de $t_0$. Yo diría que un punto de $t_0$ tales que $y(t_0) = 0$ $y(t) \neq 0$ en un barrio de alrededor de $t_0$ se puede dividir: puede resolver por $y(t)$ a la izquierda y a la derecha de $t_0$ por la ecuación (2), y si usted sabe de $ $ y=0$ $t_0$, por lo tanto, usted sabe que $y(t)$ en todas partes en el intervalo. Sólo entonces se puede, finalmente, considere el caso de que $y=0$ en todas partes, que tiene una solución trivial y no cumple con las condiciones de (1).

La esencia del enfoque aquí es tomar (1) y, a continuación, considere un conjunto de condiciones mutuamente exclusivos y exhaustivos de los casos, cada uno de los cuales admite diferentes vías hacia la reconstrucción de $y(t)$ en $f(t)$. Es clave que los casos considerados son colectivamente exhaustivos, deben cubrir todas las posibilidades.

Una de las cosas que colgaba hasta aquí es que "tenemos que revisar". Allí, el escritor tuvo que considerar el caso $y=0$ todas partes, y él pedantically eligió para comprobar que este caso era compatible con el original de la ecuación (1). Es trivialmente fue, en este caso, pero es sin embargo común considerar los casos que pueden o pueden no ser coherentes con el problema original, quizás porque es más simple de no excluir a tales soluciones hasta un momento posterior.

Parte de la dificultad de aquí puede ser que en las pruebas, que a menudo saben la respuesta que se supone para llegar a--hay un objetivo claro que se debe lograr, y el foco está en la coherencia lógica entre los pasos. Aquí, el foco estaba en los siguientes pasos lógicos para construir una solución para $y(t)$--o, de manera equivalente, para recuperar lo dado sólo que $y(t)$ obedeció a la ecuación (1) y que $f(t)$ era de la información conocida. Aquí, parte de la solución general técnica era romper con posibilidades para $y(t)$ en un conjunto de casos, cada uno de los cuales era más fácil de analizar de forma individual y construir una solución de su propio que, cuando se la considera como un todo.

Answer 3

Yo no lo llamaría la ecuación (1) una "premisa" es un tipo de ecuación que se le da un nombre.

La lógica detrás de la manipulación de las ecuaciones diferenciales (y la correspondiente falta de "iff" vs "implica") no es diferente de la de la manipulación de ordinario ecuaciones algebraicas en su intermedio/"" universidad de álgebra que usted podría haber tenido en la escuela secundaria. A veces, la manipulación es reversible, en cuyo caso hay un tácito iff debajo (es decir, la adición de $1$ a ambos lados), y a veces no es reversible (como el cuadrado ambos lados), en cuyo caso hay un tácito implica. Mantener el seguimiento de la lógica es, para aquellos experimentados, y en algunas áreas de las matemáticas, menos esclarecedor y menos problemática que la mayor tarea de encontrar las manipulaciones necesarias para hacer lo que se desea, por lo que se omite con la frecuencia que es. En cualquier caso, la única cosa que usted necesita hacer es tener en cuenta qué tipo de manipulación que se está haciendo y si es o no es reversible.

Por supuesto, otro carry-over de la escuela secundaria álgebra: cuando se está resolviendo una ecuación, usted está, de hecho, tomando como dado. Si usted desea solucionar $x^2-2x-3=0$, usted asume por la hipótesis de que es una verdadera declaración acerca de alguna cantidad de $x$, a continuación, encontrar una cadena de implicaciones que te cuenta lo que $x$ se puede. Si usted completa la primera plaza y luego aislar a $x$, usted va a terminar encima de hacer una raíz cuadrada, que introducirá a los $\pm$ signos. Tenga en cuenta que $x=\pm{\rm bla}$ tiene el significado de $x\in\{+\rm bla-bla\}$. O en lógica proposicional (ish), digamos $(x-1)^2=4\implica (x-1=2\vee x-1=-2)$, y así sucesivamente.

Usted notará que en pasando de $(1)$ $(2)$, se tuvo que dividir por $y$. Esto no es posible cuando $y=0$, por lo que implícitamente hemos bifurcado en dos casos: cuando $y=0$, y cuando $y\ne0$. A menudo la gente piensa de prisa; podríamos tener el primer pensamiento que se dividen, y, a continuación, en el segundo pensamiento se dio cuenta de que esto no siempre es posible y en un caso donde esto no es posible se debe comprobar por separado. El estilo y la disposición de los matemáticos de la discusión no está determinada exclusivamente por la fría lógica consideraciones, sino que también se desarrolla con el fin de ilustrar y espejo natural de los procesos del pensamiento humano. Como con cualquier tipo de discusión que las personas tienen con cada uno de los otros.

Sólo porque usted no puede hacer sentido de algo, no hacer algo absurdo, por cierto. Es, sin embargo, un poco demasiado de prisa por escrito. Si usted está escribiendo y tener la oportunidad de revisar, es generalmente una buena idea para mover los pensamientos en torno a lo que sigue a lo largo del proceso de pensamiento de alguien que acaba de ser introducido a material, en lugar de la corriente de la conciencia.

En mi opinión, el daño, no obstante, es pequeño. El problema que tienes es no ser capaz de detectar el marco detrás de este tipo de tareas de solución de problemas, y el marco es muy básica que la mayoría de los preparados que los estudiantes están familiarizados con. Como he dicho un par de veces, ahora, la idea de la aplicación de las manipulaciones, ya sea reversible o irreversible, y la división en varios casos, se basan en cuando ciertas manipulaciones son aplicables o no, es algo que va todo el camino de regreso a la escuela secundaria álgebra. La razón de que el autor no dice explícitamente algunas de las cosas es que son el tipo de cosas que la muy amplia y muy típico , sin ir diciendo en matemática hablar.

La terapia para esto es para entrar en la mentalidad de la resolución de problemas, no de la lógica. Para la resolución de problemas, especialmente en introductorio de ecuaciones diferenciales (el que lee, sobre todo como un gran agarrar la bolsa de trucos, creo), la consecución de su objetivo implicará símbolo empujando, así es como el ajedrez, donde usted necesita para mover las cosas de acuerdo a ciertas reglas con el fin de lograr uno de un número de la forma deseada. Pasos intermedios se convierten en presente, como "aislar $y$'s" o "reducir el orden de los derivados del presente", o "el grupo como los términos" etc. Con la práctica, usted puede adjuntar la lógica de los movimientos después de que han encontrado los movimientos que usted necesita o quiere.

Answer 4

Un par de pensamientos rápidos en su problema:

1. Si usted está encontrando que no se puede intuitivamente seguir lo que está pasando, usted podría no tener suficientes ejemplos en su cabeza. En lugar de intentar comprender lo que está siendo probado en una técnica de "curso", para usar su fraseología, basta con aplicar la técnica varias veces (tantas veces como sea necesario!) y probablemente obtendrá una intuitve la comprensión de lo que está sucediendo

2. A menudo, hay mucho teórica de precisión que podría ser utilizado, pero no es porque es demasiado complicado por el momento. En la licenciatura de ecuaciones diferenciales, en realidad no hay mucha técnica que se puede utilizar en comparación con el álgebra, debido a que el teorema de la prueba de las cosas es complicado el análisis. De nuevo, concentrarse en hacer un montón de ejemplos. Ecuaciones diferenciales no se ramifican en varias subdisciplinas más tarde y parte de ella es más bien teórico, como el análisis microlocal y D-módulos

3. El punto (2) también se cumple en una vena diferente para el análisis complejo. Algunos de análisis no es como "estructurados" en cierto sentido, en comparación con el álgebra. Sin embargo, la técnica-tipo de cursos son más para obtener un sentido intuitivo de los objetos, de modo que usted puede luego aplicar más técnicas estructurales. A veces usted sólo tiene que conseguir sus manos sucias de modo que más tarde, cuando usted hacer aprender la teoría, usted tendrá una buena idea de qué esperar.

4. Si usted encuentra un sujeto no a sus normas de rigurosa precisión, que está bien; de diferentes personas necesitan diferentes cantidades de rigor para mantenerlos cómodos. Personalmente, me resulta tremendamente difícil de entender imprecisa declaraciones. Esta es una buena oportunidad para ti: reformular las declaraciones más precisamente. Si usted no puede averiguar cómo, escribir algo preciso que usted piensa que podría ser cierto y, a continuación, ver si usted puede demostrar que. Si parece difícil, pregunte al instructor si usted hizo esta parte correctamente.

5. En caso de que no lo dicen claramente: ¿más ejemplos.

Answer 5

Puedo ver su confusión y frustración, pero esto es algo que usted debe trabajar en acostumbrarse y llegar a ser capaz de traducir en su estilo preferido. Históricamente, la mayoría de matemáticas fue (y en muchos de los campos todavía es), hecho en un estilo informal. Fue sólo en el siglo 20 que existía algún tipo de convencer a la lógica de la fundación para las matemáticas y había un montón de increíbles (pura y aplicada) de matemáticas de hecho antes de que.

Esto es especialmente cierto en el cálculo: hay un número de operaciones que se justifica aquí por los teoremas que no declaró porque se asume que usted sabe. Usted puede sentirse frustrado por esto, pero el punto es que las operaciones eran verdaderas antes de que se probó que los niveles de corriente de rigor y la abstracción. Un significado intuitivo de los instrumentos financieros derivados de tasas de cambio y la creencia de que la notación de las obras permite trabajar de manera eficiente y, a continuación, puede volver atrás y comprobar que todo funciona con precisión.

Como un matemático puro debe concentrarse más que la mayoría de los fijos definiciones y rigurosa de los teoremas, mientras que también darse cuenta de que el principal uso de cálculo como este es para resolver problemas del mundo real.

En cuanto a los detalles del problema (y estos son sólo mis interpretaciones, el punto de esto es encontrar todas las soluciones de una ecuación, que no tienen que ser declarado como un teorema):

1. Estamos tratando de encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial. Si lo desea, puede declarar esto como Teorema: Para todo continuo $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y $F\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $F'=f$, diferenciable $y\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisface $$\frac{dy}{dt}+f(t)y=0$$ $ si y sólo si $y=Ae^{-F(t)}$ con $A\in \mathbb{R}$.
2. Hay un teorema que dice que si $y\neq 0$ que toda solución de (1) es también una solución de (2) con la forma de los signos. Este teorema que justifica la "separación de variables" podría ser en su libro de texto/notas de la conferencia o podría tener que probar a sí mismo: es, básicamente, la regla de la cadena. Una vez que usted tiene que, junto con el hecho de que la $ $ y=0$ es una solución, a continuación, puede ver que cualquier solución de (1) debe ser de $0 a$ o una solución de (2).
3. Hay más definiciones y proposiciones que dicen todas las soluciones de (2) son de la forma (3). En realidad no hay realmente debe ser un valor absoluto signos alrededor de los $$ y como se puede ver en el ejemplo 2 de separación de variables. La solución de este modificado (3) da soluciones $y=\pm Ae^{-F(t)}$ donde $A=e^C$ para $C\in \mathbb{R}$ para esto, junto con la $ $ y=0$ solución da el deseado teorema.

Ir a través de todo esto me ha hecho recordar que la conversión de cálculo de tipo informal razonamiento preciso de las matemáticas es un poco complicado (mi discusión anterior es que aún falta algunos detalles creo, correcciones de bienvenida) y es un ejercicio que vale la pena. Así que usted debería hacer esto es necesario, pero también a veces a entender el material en la forma en que se presenta un poco más intuitiva.

Más al azar comentarios:

• Si desea este estado como un teorema que usted necesita saber la respuesta. Parece más fácil encontrar la respuesta y, a continuación, dejar de escribir.
• Pensando en ecuaciones algebraicas podría darle cierta comprensión de lo que la gente entiende por ecuaciones diferenciales. La solución de algo así como $\sqrt{x+2}=-x$ iba a proceder asumiendo la ecuación es verdadera, de llegar a alguna parte y, a continuación, comprobar si las soluciones de trabajo. Traten de pensar en esto como las implicaciones, subconjuntos, etc, y que podría ayudar antes de entrar en el cálculo también.