suma de todas las entradas de la matriz inversa de una matriz simétrica definida positiva

Question

Sea $A$ sea una simétrica definida positiva $n\times n$ tal que cada entrada $a_{i,j}$ de $A$ es un número en $[0,1]$ et $\text{diag}[A]=(1,1,\cdots,1)$ . ¿La suma de todas las entradas de $A^{-1}$ tienen un límite finito? Es decir, $$ \text{sup}_{A}\sum_{1\leq i,j\leq n}\text{entry}_{i,j}[A^{-1}]<\infty? $$ ¿Cuál es el valor exacto del supremum?

Answer 1

En $n=2$ si denotamos el valor común de las dos entradas no diagonales de $A$ por $x\in(0,1)$ la suma de las entradas de $A^{-1}$ será la función decreciente $\frac{2}{1+x}$ y, por tanto, está acotado por encima de $2$ .

En $n\ge3$ la suma es ilimitada por encima. Sea $t>0$ et $$ A_t=\pmatrix{1&\frac12&\frac{\sqrt{3}}2\\ \frac12&1&\frac{\sqrt{3}}2-t\\ \frac{\sqrt{3}}2&\frac{\sqrt{3}}2-t&1}. $$ Entonces $\det(A_t)=t\left(\frac{\sqrt{3}}2-t\right)$ . Según el criterio de Sylvester, $A_t$ es positiva definida siempre que $t\in(0,\frac{\sqrt{3}}2)$ . Además, un cálculo sencillo muestra que la suma de todas sus entradas de $A_t^{-1}$ viene dado por $$ S_t=\frac1{\det(A_t)}\left(\frac74-\sqrt{3}+O(t)\right). $$ (El término big-oh es $t-t^2$ pero eso no tiene importancia aquí. No es necesario calcular $A^{-1}$ . Basta con utilizar la expansión cofactorial para calcular los términos constantes en el adyuvante de $A_t$ y sumarlos para obtener el término constante en $S_t$ ). Por lo tanto $S_t\to+\infty$ cuando $t\to0^+$ . De ello se deduce que cuando $n\ge3$ et $t\in(0,\frac{\sqrt{3}}2)$ la matriz definida por $A=A_t\oplus I_{n-3}$ es definida positiva y de entrada entre $0$ et $1$ pero la suma de todas las entradas de $A^{-1}$ diverge hacia $+\infty$ cuando $t\to0^+$ .