¿Puedo probar que$\frac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x} \to 1$ como$x \to 0$ sin usar DLH?

Question

¿Puedo probar que$$\frac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x} \to 1$$ as $ x \ a 0 $ sin usar DLH?

ACTUALIZAR:

Si aplica MVT en$f(u) = e^u$ en$[x,\sin x] \forall x>0$ y en$[x,\sin x] \forall x<0$ y usa el teorema de compresión, el límite es igual a 1.

Answer 1

Para$x\geq 0$% pequeño, tenemos$\sin(x)\leq x$. Deje que$I$ sea el intervalo cerrado$I=[\sin(x),x]$ para$x$ fijo. Define$f(x)=\exp(x)$. Entonces sabemos que$f$ es continuo. Por el teorema del valor medio, tenemos \begin{align} f'(\xi) = \frac{f(x)-f(\sin(x))}{x-\sin(x)} \end {align} para$\xi \in I$

Para$x\rightarrow 0$ sigue, que$\xi=0$ y por lo tanto$f'(\xi)=1$.

Answer 2

Aquí está la respuesta usando el teorema del valor medio:$$e^x - e^{\sin x} = (x - \sin x)e^c \mbox{ for some } c \mbox{ between }x \mbox{ and }\sin x.$$ Now let $ x \ a 0$ and argue $ e ^ c = 1$ as $ x \ a 0. $

Answer 3

Esto resulta ser demasiado simple. Solo tenga en cuenta que si$y=\sin x, z=x-\sin x$, entonces ambos$y,z$ tienden a$0$ con$x$. La expresión dada se puede escribir como$$f(x)=\frac{e^{x}-e^{\sin x}}{x-\sin x}= e^{y}\cdot\frac{e^{z}-1}{z}$$ Now $ e ^ {y} a 1$ as $ y \ a 0$ and $ (e ^ {z} -1) / z \ a 1$ as $ z \ a 0$. Hence $ f (x) \ a 1$ as $ x \ a 0 $.