El experimento de Buffon con cuadrados.

Question

Decir, nos gustaría hacer de la Buffon experimento pero con casillas en lugar de agujas.

Notación:

• $d$ es la distancia entre líneas
• $b$ es el cuadrado de la longitud del lado
• $y$ es la distancia desde el centro de la plaza a la línea más cercana
• $\alpha$ es el ángulo agudo entre una de las diagonales y la línea vertical

Mi intento de ilustrar:

Ahora observamos que $y$ es distribuido uniformemente en $[0,\frac{d}{2}]$$\alpha$$[0,\frac{\pi}{4}]$. Además, la plaza cruza el más cercano de la línea de si $$y\leq \frac{\sqrt{2}}{2}b \cos\ \alpha$$

Ahora si $E$ es el caso cuando la plaza se cruza una línea a continuación: $$P(E)=\frac{\int_0^{\pi/4} \frac{\sqrt{2}}{2}b \cos\alpha \ \text{d}\alpha}{\frac{d}{2}\frac{\pi}{4}}=\frac{4b}{\pi d}$$

Por lo tanto, $$\pi= \frac{4b}{P(E)d}$$

¿Esto tiene sentido?

Por desgracia, mi libro da una respuesta diferente: $$\pi= \frac{4b(\sqrt{2}-1)}{P(E)d}$$

Cualquier aclaración o soluciones alternativas, son muy apreciados.

Answer 1

Definitivamente, usted necesita saber algo acerca de los tamaños relativos de $b$$d$. La discrepancia entre su respuesta y la respuesta puede tener algo que ver con esto.

Si $b \leq \frac{d}{\sqrt{2}}$, el límite de la plaza se cruza la línea, ya sea en $0$ o $2$ lugares con una probabilidad de $1$, e $P(E)$ es la probabilidad de que se cruza en $2$ lugares. El Buffon de fideos argumento nos dice que una curva de longitud $L$ espera que se cruzan las líneas a distancia $d$ $\frac{2L}{\pi d}$ lugares. Como el perímetro de la plaza es de longitud $4b$, se espera que el número de intersecciones es $\frac{8b}{\pi d}$; desde las intersecciones siempre vienen en pares, la probabilidad de la intersección es $\frac{4b}{\pi d}$ como has calculado.

Por otro lado, si $b > \frac{d}{\sqrt{2}}$, el límite de la plaza confluyen las líneas en $0$, $2$, $4$, o tal vez incluso más lugares. Así que sabiendo el número esperado de las intersecciones ya no es suficiente para decirnos nada acerca de la probabilidad (aunque se da un límite: sin duda la probabilidad de la intersección es todavía en la mayoría de las $\frac{4b}{\pi d}$).