Juan y María se ejercitan. ¿Es correcto?

Question

Aquí un ejercicio de un libro acerca de la probabilidad

Juan y María están tomando un curso de matemáticas. El curso tiene sólo tres grados: a, B, y C. La probabilidad de que Juan pone una B es .3. La probabilidad de que María recibe una B es .4. La probabilidad de que ninguno de consigue Un a pero al menos uno se pone una B es .1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno llega a una B, pero tampoco obtiene una C?

Vamos a definir las probabilidades como J(a) - John obtiene, J(b), J(c), M(a), y así sucesivamente.

J(b) = 0.3

M(b) = 0.4

La probabilidad de que ninguno se pone Un pero, al menos, uno obtiene una B es .1

significa

J(b)*M(b) + J(b)*M(c) + J(c)*M(b) = 0.1

es decir,

0.3 * 0.4 + 0.3 * M(c) + J(c) * 0.4 = .1

así

0.3 * M(c) + J(c) * 0.4 = .1 - 0.12 = -.02

¿cómo puede ser? donde está mi error?

Answer 1

La probabilidad de que ninguno se pone Un pero, al menos, uno obtiene una B está dada por: $$ p(\text{no Una, al menos una B})=p(J=B M=B)+p(J=B,M=C)+p(J=C,M=B) $$ Usted está asumiendo que las probabilidades de Juan y de María de los grados son independientes. Bajo este supuesto, su primera ecuación es correcta, ya que en ese caso: $$p(J=B,M=B)=p(J=B)p(M=B)$$ $$p(J=B,M=C)=p(J=B)p(M=C)$$ $$p(J=C,M=B)=p(J=C)p(M=B)$$ y, por tanto, $p(\text{no A's, at least one B})$ sería simplemente la suma de estas probabilidades (como lo fue en sus ecuaciones). Sin embargo, la descripción del problema en realidad no nos dicen si John y Mary grados, de manera independiente, distribuido. Bien podría ser (por ejemplo) que John y Mary grados están correlacionadas, por lo que tienden a obtener calificaciones similares. En ese caso, los tres igualdades anteriores no necesariamente. El hecho de que, bajo el supuesto de independencia, que no podía obtener una respuesta razonable, sugiere que el supuesto de independencia es, de hecho, violado en este caso.

Mi consejo sería escribir la tabla de resultados posibles y, a continuación, marque las secciones de esta tabla para la que se conoce el total de la probabilidad. E. g. usted sabe que la fila de todos los resultados, donde John obtiene B tiene un total de probabilidad de 0.3, y así sucesivamente. Si usted hace esto para todas las probabilidades, debe ser obvio cómo llegar desde estos a la probabilidad de que se le pide.