Así que siento que debo estar perdiendo un ejemplo fácil aquí ... Estoy tratando de encontrar un homomorfismo del grupo multiplicativo $\mathbb{C}-\{0\}$ en sí mismo tal que su núcleo sean los reales positivos.
Los casos cercanos obvios son $\phi(z)=\phi(r\text{e}^{i\theta})=\theta$ (es un homomorfismo en los $\mathbb{R}$ bajo la adición) y $\psi(z)=\psi(r\text{e}^{i\theta})=r$ (homomorfismo en el grupo multiplicativo $\mathbb{R$, y por lo tanto en el grupo multiplicativo $\mathbb{C}-\{0\}$, pero $\text{ker}\psi=\{0\} \ne \mathbb{R} \ge 0$). Y he escrito alrededor de una docena de otros tipos de funciones que pensé que intentaría (por ejemplo, permutaciones de $\phi(z)=\phi(a+ib)=\text{sgn}(a)(+/*)b$ ...), pero no puedo encontrar un homomorfismo tal que $\varphi(z_{0})=\varphi(a+i0)=1$. ¿Alguna sugerencia?
