Supongamos que uno se da de la siguiente prueba visual de que
$$\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 1$$
que es la siguiente construcción a lo largo de $[0,1]\times[0,1]$
Lo que esto sugiere es que la suma de las áreas de los triángulos, que es $1/2,1/4,1/8,\dots$ , de hecho, cubre la central unitaria de cuadrado con un área de 1.
Lo que quiero saber si es posible dar sentido a esta construcción, o si es posible dar un geométrica/analítica de la prueba, mostrando la secuencia de puntos converge a $(1,1)$. La secuencia se define como, $x(P)$ $y(P)$ $x$ $y$ entrada de el punto de $P$:
$$P_1 = (1,0)$$ $$P_2 = \left(\frac{x(P_1)+y(P_1)}{2},\frac{x(P_1)+y(P_1)}{2} \right)$$ $$P_3 = (1, x(P_2))$$ $$P_{2n} = \left(\frac{x(P_{2n-1})+y(P_{2n-1})}{2},\frac{x(P_{2n-1})+y(P_{2n-1})}{2} \right) $$ $$P_{2n+1} = \left(1,x(P_{2n}) \right) $$
es decir, tomamos la media aritmética de las $x,y$ entradas, y, a continuación, mueva el punto a la línea de $x=1$. La idea es que, dado que el límite de/punto fijo es $1$ debe ser el caso de que la plaza sea cubierta por la infinidad de triángulos producido. No estoy seguro de lo que otros noción matemática es necesaria para interpretar esto, así que espero que usted pueda entender lo que estoy luchando para ayudarme.
