Si se lanza un dodecaedro justo hasta obtener al menos $k$ ($k$ es un valor fijo entre 2 y 12), y $X$ es la suma de todos los números que aparecieron hasta la última vez, ¿cuál es $E(X)$?
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Did
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Sea $n=12$ el número de caras. Si el primer lanzamiento es $i\geqslant k$, $X=i$. Si el primer lanzamiento es $i\lt k$, $X=i+X'$ donde $X'$ está distribuido como $X$. Por lo tanto, $$ \mathrm E(X)=\frac1n\sum_{i\geqslant k}i+\frac1n\sum_{i\lt k}\left(i+\mathrm E(X)\right)=\frac1n\sum_{i=1}^ni+\frac1n\mathrm E(X)\sum_{i=1}^{k-1}1, $$ es decir, $$ n\mathrm E(X)=\frac{n(n+1)}2+(k-1)\mathrm E(X), $$ por lo tanto $$ \mathrm E(X)=\frac{n(n+1)}{2(n-k+1)}=\frac{78}{13-k}. $$
La probabilidad de que cualquier lanzamiento sea mayor o igual a $k$ es $$ \frac{13-k}{12} $$ entonces el número esperado de lanzamientos hasta que salga un lanzamiento de $k$ o mayor es $$ \frac{12}{13-k}. $$ Todos menos el último de estos lanzamientos son menores que $k$, por lo que la suma de esos lanzamientos tiene un valor esperado de $$ \left( \frac{12}{13-k} -1 \right) \frac{1+ (k-1)}{2}. $$ A esto se le añade el valor esperado del último lanzamiento $$ \frac{k+12}{2} $$ y por lo tanto la expectativa de la suma es $$ \left( \frac{12}{13-k} -1 \right) \frac{1+ (k-1)}{2} + \frac{k+12}{2} = \frac{78}{13-k}. $$
