$\color{red}{\text{1. One way}}$
Voy a utilizar 2 resultados
- PNT
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi(n)\ln{(n)}}{n}=1 \Rightarrow
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\pi(n)\ln{(n)}}=1 \etiqueta{1}$$
- y
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{p_n}{n\ln{(n)}}=1 \tag{2}$$
La proposición 1.1 $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln{(n)}}{\ln{(p_n)}}=1$$
$\{p_n\}$ es una larga de $\{n\}$, por lo tanto, de $(1)$,
$$\lim\limits_{p_n\rightarrow\infty}\frac{\pi(p_n)\ln{(p_n)}}{p_n}=1 \Rightarrow
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi(p_n)\ln{(p_n)}}{p_n}=1 \Rightarrow ...$$
debido a $\pi(p_n)=n$
$$...\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n\ln{(p_n)}}{p_n}=1 \tag{3}$$
Ahora
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln{(n)}}{\ln{(p_n)}}=
\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{n\ln{(n)}}{p_n}\cdot\frac{p_n}{n\ln{(p_n)}}\right)=\\
\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{n\ln{(n)}}{p_n}\right)\cdot \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{p_n}{n\ln{(p_n)}}\right)\desbordado{(2)(3)}{=}1$$
La proposición 1.2 lo suficientemente grande como Para $n$ $$p_n^{1-\varepsilon}<n$$
De
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln{(n)}}{\ln{(p_n)}}=1$$
usando la definición de límite, $\forall\varepsilon >0, \exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}$ s.t. $\forall n> N(\varepsilon)$
$$\left|\frac{\ln{(n)}}{\ln{(p_n)}}-1\right|<\varepsilon \Rightarrow
1-\varepsilon <\frac{\ln{(n)}}{\ln{(p_n)}}< 1+\varepsilon \Rightarrow \\
(1-\varepsilon)\ln{(p_n)} <\ln{(n)}< (1+\varepsilon)\ln{(p_n)} \Rightarrow \\
\ln{(p_n)^{(1-\varepsilon)}} <\ln{(n)}< \ln{(p_n)^{(1+\varepsilon)}} \Rightarrow ...$$
$e^x$ es ascendng, así
$$... p_n^{1-\varepsilon} <n< p_n^{1+\varepsilon} $$
$\color{red}{\text{2. Another way}}$
El uso de la Vallée-Poussin, para lo suficientemente grande como $x$
$$\pi(x)>\frac{x}{\ln(x)-(1-\varepsilon)}>\frac{x}{\ln(x)}$$
Vamos a demostrar que para lo suficientemente grande como $x$ también tenemos
$$\frac{x}{\ln(x)}>x^{1-\varepsilon}$$
que es la misma como muestra de $$\frac{x^{\varepsilon}}{\ln{x}}>1$$
para un gran $x>0$.
Propuestas 2.1 Función de $f(x)=\frac{x^{\varepsilon}}{\ln{x}}$ es ascendente para un gran $x>0$.
Porque
$$f'(x)=\frac{x^{\varepsilon-1} (\varepsilon \ln{x}-1)}{\ln^2{x}}>0 \iff
\varepsilon \ln{x}-1>0 \Rightarrow
x> e^{\frac{1}{\varepsilon}}$$
Proposiciones 2.2 $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x) \rightarrow \infty$
Si asumimos que está delimitado por un gran $\alpha>0, \forall x>1$ y sabemos $\ln{x}$ es ascendente
$$\frac{x^{\varepsilon}}{\ln{x}} < \alpha \iff
1<x^{\varepsilon}< \alpha \ln{x} \iff
\color{red}{0}<\varepsilon<\frac{\ln{\alpha}}{\ln{x}}+\frac{\ln{\ln{x}}}{\ln{x}}\rightarrow \color{red}{0}, x\rightarrow\infty$$
lo cual es una contradicción.
Así, para un gran $x$ hemos
$$\pi(x)>x^{1-\varepsilon}$$
lo que significa que, para un gran $n$ hemos
$$n=\pi(p_n)>p_n^{1-\varepsilon}$$
