No se puede probar este límite de números complejos de un papel

Question

Vale pues he encontrado en un artículo, marcado como "simple ejercicio", lo siguiente: para $z,b \in \mathbb{C}$ ,

$$\lim_{b\to0} \frac{1}{z-b} + \frac{1}{2b} - \frac{1}{\overline{b}{\vphantom{b}}^2(z-\frac{1}{\overline{b}})} - \frac{1}{2\overline{b}} = z + \frac{1}{z} + Constant$$

Y hasta ahora nadie ha conseguido confirmarlo. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

La ecuación (5) del documento me parece extraña. Introduce el potencial complejo del flujo ideal en el disco $|\zeta|<1$ con un vórtice puntual en $\beta$ como $\frac{-i}{2\pi}W_0$ donde $$W_0(\zeta,\beta)= \log\left(\frac{\zeta-\beta}{|\beta|(\zeta-\bar\beta^{-1})} \right) \tag5$$ Se trata de un potencial complejo válido para el flujo cuando $\beta\ne 0$ . Pero el potencial no es continuo en $\beta=0$ ya que el término $|\beta|/\bar \beta$ no tiene límite como $\beta\to 0$ . No es de extrañar que obtengamos algo raro al diferenciarlo con respecto a $\beta$ y dejando $\beta\to 0$ .

Creo que (5) debería sustituirse por $$W_0(\zeta,\beta)= \log\left(\frac{\zeta-\beta}{1-\bar\beta\zeta} \right) \tag{5*}$$ La ecuación (5*) es lo que obtenemos componiendo $\log \zeta$ , el potencial de vórtice en el centro, con las transformaciones de Möbius que mueve $\beta$ al centro. En $\beta\to 0$ (5*) converge a $\log \zeta$ como cabría esperar. Dado que la diferencia entre (5) y (5*) es una constante puramente imaginaria $\log(-\bar \beta/|\beta|)$ ambos potenciales definen el mismo flujo.

Utilizando (5*) en lugar de (5), las derivadas salen mejor que en (10): $$\frac{\partial W_0}{\partial\beta} = -\frac{1}{\zeta-\beta},\qquad \frac{\partial W_0}{\partial\bar\beta} = \frac{\zeta}{1-\bar\beta \zeta} \tag{10*}$$ Por lo tanto, (11) se convierte en $$W(\zeta,\beta)= Ua\left(\frac{\partial W_0}{\partial\bar\beta}-\frac{\partial W_0}{\partial\beta}\right) = Ua\left(\frac{\zeta}{1-\bar\beta \zeta} + \frac{1}{\zeta-\beta}\right) \tag{11*}$$ Y ahora el límite $\beta\to 0$ da el resultado esperado.