Probabilidad de una subsecuencia infinita en una secuencia generada aleatoriamente de tipo de orden $\omega_1$

Question

Por ejemplo $\omega_1$ lanzamientos de monedas (es decir, un mapeo de los elementos de $\omega_1$ a $\{H,T\}$ con probabilidades independientes a la mitad), ¿cuál es la probabilidad de que haya un infinito subsiguiente subintervalo [ corregido los siguientes comentarios compuesto sólo por cabezas?

¿Está bien definida esta cuestión? ¿Depende de la axiomatización de la teoría de conjuntos?

Para una secuencia contable de lanzamientos (es decir $<\omega_1$ ) la respuesta es presumiblemente cero, ya que un subintervalo infinito de cabezas es tan probable como cualquiera de los incontables subintervalos infinitos posibles.

Answer 1

Tomando "subsecuencia" como "subintervalo", el conjunto que describes no es medible, y de hecho tiene medida externa $1$ y la medida interior $0$ . En efecto, dejemos que $S\subset\{0,1\}^{\omega_1}$ sea el conjunto de secuencias que son constantes con valor $1$ en algún intervalo infinito en $\omega_1$ . Supongamos que $B\subset S$ es un conjunto de Borel. Entonces hay algún $\alpha<\omega_1$ y algunos $A\subseteq \{0,1\}^\alpha$ tal que $B=A\times\{0,1\}^{[\alpha,\omega_1)}$ . Entonces está claro que cada elemento de $A$ debe ser constante con valor $1$ en algún intervalo infinito en $\alpha$ . Sólo hay un número contable de tales intervalos infinitos, y el conjunto de secuencias que son constantes en cada uno de ellos tiene medida cero. Por tanto, $A$ debe tener medida cero, y por lo tanto $B$ tiene medida cero. Esto muestra $\omega_1$ tiene medida interna cero.

Supongamos ahora que $B\supset S$ es Borel, y sea $B=A\times\{0,1\}^{[\alpha,\omega_1)}$ como antes. Un elemento de $S$ puede tener cualquier restricción a $\alpha$ (ya que su intervalo infinito de $1$ s podría venir después de $\alpha$ ), por lo que $A$ debe ser todo $\{0,1\}^\alpha$ . Así, $B=\{0,1\}^{\omega_1}$ y tiene la medida 1. Por lo tanto, $S$ tiene medida exterior $1$ .

Dado que la medida interior y la medida exterior de $S$ no están de acuerdo, $S$ no es medible. Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso que describes es indefinida, al menos para la definición estándar de "probabilidad".

Answer 2

En referencia a la secuencia contable de lanzamientos, la probabilidad de cualquier subsecuencia individual podría ser cero, pero eso no es lo mismo que la probabilidad de que haya existente una subsecuencia infinita de cabezas. La única manera de no tener una subsecuencia infinita de cabezas es si, después de algún punto finito, sólo se obtienen colas a partir de entonces. Ahora bien, la probabilidad de obtener sólo cruz a partir de ese momento sería 0, por lo que la probabilidad de su complemento, equivalente a la probabilidad de que haya una subsecuencia de cabezas, sería $1-0=1$ .

Teniendo en cuenta esa misma lógica, me imagino que la respuesta sería la misma para $\omega_1$ aunque no puedo entender la cantidad incontable de eventos discretos como el lanzamiento de monedas.