Condición necesaria para que una reordenación sea la preservación de la suma (DJH Garling, Un curso en Análisis Matemático vol 1 ejercicio 4.5.3 (b))

Question

Supongamos que $\sum_{j} a_j$ es convergente a $s$ y $\sigma$ es una permutación de $\mathbb N$. Deje $m_j=\sup_{k > j} |a_k|$. Supongamos que $m_j|\sigma(j)-j| \rightarrow 0$$j \rightarrow \infty$. Mostrar que $\sum_j a_{\sigma(j)}$ es convergente a $s$. (Ejercicio 4.5.3 (b) en el mencionado textboook)

PS: yo soy un investigador autodidacta, leyendo el capítulo sobre la integración de Riemann. Tengo este problema en la parte de atrás de mi mente por algún tiempo, pero no la más vaga idea de cómo resolverlo. Sugerencias, y si soy demasiado estúpido para entender, lleno de soluciones sería muy apreciada.

Answer 1

Pista: Considera las diferencias de sumas parciales,

$$ \ sum_ {j = 1} ^ ka_j- \ sum_ {j = 1} ^ ka _ {\ sigma (j)} \ ;. $$

Deje que$i$ sea el menor entero, de manera que la suma de la derecha no contenga$a_i$. Limite el número de términos por los cuales las dos sumas difieren en$2|\sigma(i)-i|$ y la magnitud de cada uno de ellos en$m_i$. Luego muestra que$i\to\infty$ como$k\to\infty$.