Isometría entre un espacio de dimensión finita y su dual topológico

Question

Sea $(X, \|\cdot \|_X)$ un espacio vectorial normado finito dimensional. Demuestra que su dual topológico $X'$ es isomorfo isométricamente a $X$.

La forma general de un mapa lineal entre estos espacios debería ser: $$l : X \to X', x_o \mapsto l_{x_o} :=x_0^T A$$ para un $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ con $\dim X = n$, y $l_{x_0}(x) = x_0^T A x$ (representando $x_0$ y $x$ en $\mathbb{R}^n$, lo cual debería ser posible por isomorfismo). Para que esto sea una isometría, intenté encontrar $A$ de tal manera que $$\|x_0\|_X \stackrel{!}{=} \|l_{x_0}\| = \sup_{x \in X \setminus \{0\}} \frac{|x_0^T A x|}{\|x\|_X},$$ siendo los términos anteriores la norma del operador. Si todas mis suposiciones hasta este punto son correctas, esto debería llevarme eventualmente a la solución, pero simplemente no logro encontrar información sobre la matriz $A$ que necesito hallar. Probablemente sea muy fácil, pero apenas estoy empezando con el tema.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Ok, después de investigar y reflexionar un poco más, esta afirmación parece estar equivocada. Algunas pruebas que he visto argumentan la equivalencia de normas, lo cual simplemente no funciona cuando intentas aplicarlo explícitamente; la equivalencia de normas solo es útil cuando se habla de desigualdades de normas. En general, $\|x\|_a = \|y\|_a \nRightarrow \|x\|_b = \|y\|_b$ incluso cuando las normas son equivalentes (considera por ejemplo $(1,1),(1,0) \in \mathbb{R}^2$ con la norma sup y la norma $1$).

$(\mathbb{R}^2 , \|\cdot\|_p)$ con su espacio dual $(\mathbb{R}^2, \|\cdot \|_q)$ (con $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ) proporciona un contraejemplo para $p,q \notin \{ 1, 2, \infty \}$, ya que estos espacios nunca pueden ser isométricos. La demostración es un poco difícil, pero se puede encontrar aquí.

Un enfoque intuitivo: Un mapa lineal entre dos círculos unitarios necesita conservar las "esquinas", eso significa que para $p,q \notin \{ 1, 2, \infty \}$ por ejemplo $(1,0)$ tendría que ser mapeado a $(\pm 1, 0)$ o $(0, \pm 1)$, ya que ahí es donde se encuentran las "esquinas" en los respectivos círculos unitarios. Para $p \in \{ 1, \infty\} \implies q \in \{\infty, 1\}$ esto no es un problema: Ambos círculos unitarios son cuadrados, que pueden transformarse uno en otro mediante rotación y escala, y el caso $p = 2 \implies q = 2$ es trivial. Pero en todos los otros casos, esta condición de "conservar esquinas" nos lleva a una contradicción cuando mapeamos la base estándar $\{(1,0), (0,1)\}$ a cualquiera de las posibilidades, porque entonces los otros puntos en el círculo no serán mapeados correctamente.

Answer 2

X es de dimensional finita. Supongamos que $A=\{x_1,...,x_n\}$ es su base. Define $l_i:X\to \Bbb C$ tal que $l_i(x_j)=\delta_{ij}$ para $x_j\in A. Claramente $l_i$ es lineal y acotado (X es de dimensional finita). Muestra que $\{l_i\}$ es una base para $X^*.

Define $\phi:X\to X^*$ tal que $\phi(x)=l_x$. Cada $x\in X$ tiene la representación $x=\sum_{I=1}^n \alpha_i x_i$, entonces $l_x= \sum_{I=1}^n \alpha_il_i. Claramente $\phi$ es un isomorfismo. Para demostrar que es una isometría, sabemos que todas las normas son equivalentes en un espacio de dimensional finita. Así que usando $||.||_\infty$, tenemos que $\|x\|=\|l_x\|$.