¿Es la derivada de una función Lipschitz integrable al cuadrado?

Question

Dejemos que $f(x)$ sea una función de valor real Lipschitz definida en un intervalo cerrado $I$ . La derivada $f '(x)$ existe a.e. ya que $f$ es absolutamente continua.

Mi pregunta es: ¿Es $f '(x)$ necesariamente integrable al cuadrado, es decir, en $L^2(I)$ ?

Answer 1

Sí, porque la derivada está acotada. Si $M$ es la constante de Lipschitz, entonces $|f'(x)|\leq M$ en todos los lugares en los que existe. Esto se deduce del hecho de que cada uno de los cocientes de diferencia tiene este límite. Funciones continuas Lipschitz en $I$ son precisamente las integrales indefinidas de funciones acotadas medibles en $I$ mientras que las funciones AC son las integrales indefinidas de las funciones integrables en $I$ . (Así se encuentran contraejemplos de AC al integrar funciones integrables pero no integrables al cuadrado).