Deje$f:A\to B$ y$g:B\to C$. Supongamos que$g\circ f$ es una bijección. Luego,$f$ es inyectivo y$g$ está supuesto en$C$.

Question

Creo demostrando $f$ es inyectiva es bastante simple:

Deje $x_1,x_2\in A$ s.t. $f(x_1)=f(x_2)$. A continuación, $g\circ f(x_1)=g\circ f(x_2)$. Por lo tanto, como $g\circ f$ es bijective, tenemos que $x_1=x_2$. Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Demostrando $g$ es a $C$ es un poco más difícil para mí. Tengo el siguiente, pero no estoy seguro de su veracidad:

Deje $y\in C$. Luego, debido a que $g\circ f$ es bijective, hay algunos $x\in A$ s.t. $g\circ f(x)=y$. Tenga en cuenta que $f(x)\in B$. *Por lo tanto, $g\circ f(x)\in C$. ** * Así, hay algunos $x\in B$ s.t. $g(x)=y$. Por lo tanto, $g$ es en C.

Mi incertidumbre proviene de el salto de ***. ¿Esta progresión siga?

Gracias!

Answer 1

Ya casi estás ahí. Como dice, hay$x$ en$A$ con$[g \circ f](x)=y.$ Ahora use ese$[g \circ f](x)=g(f(x))$ y dé$f(x)$ algún nombre como$f(x)=k.$ Este$k$ luego se encuentra en$B$ y$g(k)=y$ para que$g$ esté en.