Quiero explicar que tanto la parte real como la imaginaria de una variable compleja siguen una distribución gaussiana compleja de media cero. ¿Cómo puedo escribirlo?
Para una variable escribiría $a \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ .
¿Pero para dos? Tal vez $\{a,b\} \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ ?
¿Cuál es la notación correcta?
Wikipedia tiene una respuesta: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable#Equality_in_distribution
Anotan el hecho de que dos variables aleatorias $X,Y$ son "iguales en su distribución" por $X \stackrel{d}{=} Y$ .
No tengo ni idea de lo común que es esta notación. También hay que tener en cuenta que el mero hecho también podría llamarse idénticamente distribuidos como en " i.i.d. ".
Tal vez mi pregunta fue errónea: No quiero saber cómo hablar de la igualdad en la distribución, quiero escribirlo en una simple fórmula de una línea que declare la distribución y explique el hecho de que ambas variables pertenecen a esta distribución al mismo tiempo.
Podrías escribir
$$ (a,b)^T \sim \mathcal{N}_2(\mathbf{0},\sigma^2\mathbf{I}) $$
para indicar que el vector de variables aleatorias $\begin{bmatrix} a\\b\end{bmatrix} $ pertenece a la distribución normal multivariante de dimensión 2 con vector de media cero $\mathbf{0}$ y donde $a$ y $b$ son independientes y cada una tiene una varianza $\sigma^2$ .
Sin embargo, esto parece un poco indirecto. Sería mejor que lo dijera con palabras como http://everything2.com/title/complex+Distribución gaussiana . Es decir, algo como "el número complejo $a+ib$ sigue una distribución gaussiana bidimensional no correlacionada con media $0$ y la varianza por dimensión real de $\sigma^2$ ".
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