¿Es un axioma de ZFC expresando GCH falla como mal como sea posible?

Question

La GCH axioma básicamente dice que para todos los infinitos números cardinales $\kappa$, el número de cardenales mentira estrictamente entre el $\kappa$ $2^\kappa$ es tan pequeño como sea posible. Es decir, no hay ninguno.

Hay un axioma que afirma lo contrario, es decir, que el número de los números cardinales mentira estrictamente entre el $\kappa$ $2^\kappa$ es tan grande (en algún sentido) como sea posible?

Edit. Por ejemplo - y no sé si esto es una tontería sugerencias, sé muy poco de teoría de conjuntos - es el siguiente axioma infinito cardenales $\kappa$ consistente con ZFC? Y si es así, ¿es interesante? $$|\{\mbox{cardinals } \nu \mid \kappa<\nu<2^\kappa\}|=2^\kappa$$

Answer 1

Tenga en cuenta que no hay "mayor distancia posible" entre $\aleph_0$$\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$. Se trata de una antigua resultado de que el tiempo $\aleph_\alpha$ tiene innumerables cofinality, entonces es relativamente consistente con $\mathsf{ZFC}$ que $\mathfrak{c} = \aleph_\alpha$. Como cada infinita sucesor, el cardenal ha incontables cofinality, esto implica que no hay ningún límite en el número de cardenales estrictamente entre el$\aleph_0$$\mathfrak{c}$.

Easton Teorema va incluso más allá, y dice que, salvo algunas restricciones básicas, la función de $\aleph_\alpha \mapsto 2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{G(\alpha)}$ restringido a la ordinaria de los cardenales pueden ser bastante arbitrario. (Como Andrés Caicedo señala en su comentario a continuación, en virtud de la asunción de ciertos gran cardenal de hipótesis, la arbitrariedad es más restringido. Como un ejemplo básico, el que menos (infinito) cardenal en que $\sf{GCH}$ no puede ser medible.)

Las respuestas a estas preguntas también pueden ser de interés:

• Un problema con el Cantor de la hipótesis continua
• Contraejemplos a la hipótesis continua

Answer 2

Permítanme [parcialmente] dirección de la edición, como la pregunta original fue bien dirigido por Arthur en su respuesta.

Vamos a empezar con un modelo de $\sf ZFC+GCH$. Considere la función definida para regular $\kappa$$F(\kappa)=\min\{\lambda\mid\lambda=\aleph_\lambda\land\operatorname{cf}(\lambda)>\kappa\}$, entonces esta función satisface los requisitos de Easton del teorema. Por lo tanto, no existe un modelo de la teoría de conjuntos tal que para cada a $\kappa$ tiene:$$2^\kappa=F(\kappa)=\aleph_{F(\kappa)}=\aleph_{2^\kappa}.$$

No es difícil ver que la brecha entre el $\kappa$ $2^\kappa$ contiene $2^\kappa$ cardenales, y de hecho la diferencia es ilimitado.

En el axioma de elección lado de eventos, Truss demostró que si existe $\alpha$ tal que para cada $X$, $\alpha$ no puede ser embebido en la cardenales entre el$X$$2^X$, entonces el axioma de elección se mantiene. Es decir, un almacén de diferencia entre un conjunto y su poder es el fortalecimiento del axioma de elección, como $\sf GCH$ es.