Una fórmula conjetural para el polilogaritmo de un orden entero negativo

Question

Descubrí la siguiente fórmula mientras trabajaba en la secuencia A141697 de la OEIS. No tengo ni idea de si es algo trivial o no. Me encantaría saber más al respecto.

$$ \textrm{Li}_\nu\left(z\right)= \frac { 6 (1+z)^{-\nu-1} + \displaystyle\sum_{k=0}^{-\nu-1} \displaystyle\left( -6 \displaystyle{{-\nu-1}\displaystyle\choose k}+7\sum_{j=0}^{k+1}(-1)^j (k-j+1)^{-\nu} {{-\nu+1}\ \choose j} \right) z^k } { 7 (1 - z)^{-\nu+1} }z $$ cuando $\nu$ es un número entero negativo.

En caso de que haya escrito mal la fórmula, aquí están mis códigos en dos idiomas diferentes:

Para Pari-GP:

mypolylog(n, x) = { ( 6*(x+1)^(-n-1)
   + sum(k=0,-n-1, (-6*binomial(-n-1,k)
       + 7*sum(j=0,k+1, (-1)^j * (k-j+1)^(-n) * binomial(-n+1,j)))*x^k) ) * x
    / (7*(1-x)^(-n+1) ) }

Para Mathematica:

mypolylog[n_, x_] :=  (6*(x+1)^(-n-1)
    + Sum[(x^k*(-6*Binomial[-n-1, k]
        + 7*Sum[(-1)^j*(k-j+1)^(-n)*Binomial[-n+1, j], {j, 0, k+1}])),
    {k, 0, -n-1}]) / ( 7*(1 - x)^(-n+1) ) * x

Answer 1

Para simplificar las fórmulas, defina $\, B(n,k) := {-n-1\choose k}, \,$ $\, A(n,k) := \sum_{j=0}^{k+1} (-1)^j (k-j+1)^{-n} {-n+1 \choose j}, \,$ y $\, u := 1-t \,$ donde $\, t\neq 0. \,$ Su fórmula es la $\, t=7 \,$ caso de la ecuación ligeramente simplificada

$$ \textrm{Li}_n(z) = \frac{z}t (1-z)^{n-1} (-u (1-z)^{-n+1} + u \sum_{k=0}^{-n-1} z^k B(n,k) + t \sum_{k=0}^{-n-1} z^k A(n,k) ) $$ pero $\, (1-z)^{-n+1} = \sum_{k=0}^{-n-1} z^k B(n,k) \,$ lo simplifica a $ \textrm{Li}_n(z) = z (1-z)^{n-1} \sum_{k=0}^{-n-1} z^k A(n,k). \,$

Los números en $\,A(-n,k-1)\,$ son los triángulos Secuencia OEIS A008292 de números eulerianos cuya entrada tiene la información "O.g.f. para la fila n: (1-x)^(n+1)*polilog(-n, x)/x".