Encontrar el error en la solución de $\sin 2x=\sin x + \cos x$

Question

Yo soy la solución de $\sin 2x = \sin x +\cos x $ $0\le x \le 360$

$$\sin 2x = \sin x +\cos x$$ $$2 \sin x \cos x =\sin x + \cos x$$ $$(\cos x + \sin x) ^{2} - (\sin x)^{2} - (\cos x)^{2} =(\cos x + \sin x)^{2} - 1=\sin x + \cos x$$ Deje $\cos x + \sin x = y$ $$y^{2} - 1= y$$ Después de resolver la ecuación cuadrática consigue $1.618$(creo que esto no es aceptado) y $-0.618$ $$y=\cos x + \sin x =\sin 2x = -0.618$$ $$2x=218.17,321.83,578.17,681.87$$ $$x=109.09,160.92,289.09,340.34$$ Pero el problema es $109.09$ $340.34$ no es la solución. Yo no deliberadamente la plaza de nada que producen un exceso de solución. Los dos extra solución satisfacer $\sin 2x=-0.618$ pero no $\cos x + \sin x=-0.618$.¿Hay algún error en mis cálculos, o hay cualquier lugar en el que me introdujo accidentalmente extra solución? Gracias.

Answer 1

Considere estas tres ecuaciones:

\begin{align} \sin 2x = \sin x + \cos x \tag{1} \\ (\sin x + \cos x)^2 - 1 = \sin x + \cos x \tag{2} \\ (\sin 2x)^2 -1 = \sin 2x \tag{3} \end{align}

Ustedes estaban en lo correcto en la determinación de que (1) y (2) son equivalentes. Además, (1) implica (3).

Sin embargo, lo que no pudo observar es que (3) no implica (1), de modo que, mientras todas las soluciones para

\begin{align} y^2 - 1 &= y, \\ y &= \sin x + \cos x \end{align} son soluciones de (1), el mismo no es cierto para \begin{align} y^2 - 1 &= y, \\ y &= \sin 2x. \end{align}

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A illustarte esto, aquí hay un ejemplo usando sólo el álgebra básica y no la trigonometría, que puede parecer estúpido, pero lógicamente es análoga a su soliution:

Problema: Resolver $$ x^2 - x = x - 1. \etiqueta{1} $$

En primer lugar, añadimos $1-x$ a ambos lados para ver que esto es equivalente a $$ (x-1)^2 = 0. \etiqueta{2} $$ A continuación, señalamos $y=x-1$ a solucionar $y^2 = 0$ y obtener un $y=0$. Hasta ahora tan bueno.

Por último, utilizamos $y = x^2 - x$ (Esta es una manera estúpida de hacer esto, pero ilustra el error.), y resolver $$ x^2 - x = 0, $$ y encontrar $x=1$ $x=0$ como de las soluciones.

¿Dónde nos equivocamos?

Answer 2

A veces un gráfico que ayuda en la comprensión de problemas como este. Aquí están las gráficas de las curvas de $y = \sin(2x^\circ)$ y $y = \sin x^\circ + \cos x^\circ$ así como la línea de $y=-0.618$ $0 \leq x \leq 360,$ trazado de https://www.desmos.com/calculator:

Como se puede ver, los gráficos de $y = \sin(2x^\circ)$ y $y = \sin x^\circ + \cos x^\circ$ cruz sólo dos veces en esta región, pero $y = \sin(2x^\circ)$ cruza la línea de $y=-0.618$ cuatro veces. Que es donde sus dos incorrecta "soluciones".

Desde que la encontró difícil de resolver, $\sin x^\circ + \cos x^\circ = -0.618,$ una manera de evitar las respuestas incorrectas es resolver $\sin(2x^\circ) = -0.618$ primer y, a continuación, comprobar cada una de las soluciones de $\sin(2x^\circ) = -0.618$ a ver si ese valor de $x$ hace también es cierto que $\sin(2x^\circ) \approx \sin x^\circ + \cos x^\circ.$ Usted debe ser fácilmente capaz de confirmar que $\sin(2x^\circ) \approx \sin x^\circ + \cos x^\circ$ si $x=160.92$ o $x=289.09$, pero que $\sin(2x^\circ) \not\approx \sin x^\circ + \cos x^\circ$ si $x=109.09$ o $x=340.34.$

Si usted realmente desea para tratar de que en la línea de la herramienta de gráficos de ti mismo, usted tiene que convertir de grados a radianes, dentro de cada una de las funciones, desde Desmo espera que el seno y coseno a ser las funciones de radianes en lugar de grados. Las fórmulas que se utilizaron fueron y=sin(2x*\pi/180) y y=sin(x*\pi/180)+cos(x*\pi/180).

Answer 3

SUGERENCIA

Por favor siga el enlace:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(2x)%3Dsin(x)%2Bcos(x)

Answer 4

Tienes que hacerlo de una manera sistemática. Una vez que usted sustituto $y=\cos x+\sin x$ y han encontrado el valor de $y=-0.618$, volver a la sustitución y solucionar $y=\cos x+\sin x=-0.618$. Cuando la resolución de $\sin 2x=-0.618$ simplemente no se puede olvidar que $\sin 2x=\cos x+\sin x$.