En primer lugar, vamos a aclarar la relación con los cuaterniones. Si usted tiene
\begin{align*}
x &= x_1 + x_2\mathbb i + x_3\mathbb j + x_4\mathbb k \\
y &= y_1 + y_2\mathbb i + y_3\mathbb j + y_4\mathbb k \\
z &= z_1 + z_2\mathbb i + z_3\mathbb j + z_4\mathbb k
\end{align*}
con todos los coeficientes en el derecho elegido real, y, además, tener $z=x\cdot y$, en la comparación de los coeficientes de obtener exactamente las relaciones entre el $\{x,y,z\}_{\{1,2,3,4\}}$ usted declaró en su pregunta. Así que una manera de escribir esta suma de cuatro cuadrados de identidad
$$\lVert x\rVert^2\cdot\lVert y\rVert^2 = \lVert z\rVert^2 = \lVert x\cdot y\rVert^2$$
Ahora piense por un momento en que estos fueron los números complejos, es decir,$x=a+bi$$y=c+di$. Su producto es $xy=(ac-bd) + (ad+bc)i$ y se obtendría la ecuación
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$$
Esto difiere de la de dos plazas fórmula indicada sólo en el signo de $b$, así que voy a considerar esto, en esencia, de la misma forma. ¿Cómo podría usted demostrar esto a través de los números complejos? Pues bien, una manera sería a cambio de coordenadas Cartesianas a polares, es decir, escribir $x=r_x\cdot e^{i\varphi_x}$$y=r_y\cdot e^{i\varphi_y}$$r_x,r_y,\varphi_x,\varphi_y\in\mathbb R$. Si usted interpretar (multiplicación) de un número complejo como un geométrica de la operación, entonces el $r$ componente (es decir, el valor absoluto) es una escala y el $e^{i\varphi}$ componente (es decir, la fase) es una rotación. Ahora, en mi versión de las rotaciones habría que añadir, así que vas a tener $\varphi_z=\varphi_x+\varphi_y$. Pero en su formulación, con la volteada signo de $b$, tendría que negar $\varphi_x$ y por lo tanto obtener $\theta=\varphi_z=\varphi_y-\varphi_x$. Esa es la razón por qué se puede hablar de que el ángulo entre los vectores. Es la descomposición de la rotación relativa en sus coordenadas Cartesianas que los rendimientos de las funciones trigonométricas de su interpretación geométrica. Su fórmula sería muy bien representado como
$$\lVert x\rVert^2\cdot\lVert y\rVert^2 = \lVert \bar x\cdot y\rVert^2$$
Usted puede hacer lo mismo para el caso de cuaterniones, donde había negar los signos de $x_{2,3,4}$ y obtener una diferente pero igual de válida de la fórmula, usando
\begin{align*}
z_1 &= \phantom+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4 \\
z_2 &= -x_2y_1+x_1y_2+x_4y_3-x_3y_4 \\
z_3 &= -x_3y_1-x_4y_2+x_1y_3+x_2y_4 \\
z_4 &= -x_4y_1+x_3y_2-x_2y_3+x_1y_4
\end{align*}
El uso de la formulación, se puede tratar cada uno de los cuaterniones como el producto de un escalar real (factor de la escala de componentes) y una unidad de cuaterniones (la rotación del componente). Entonces se podría interpretar el conjugado de cuaterniones como tener el mismo factor de escala pero contrario a la rotación. Por lo tanto, puede interpretar el producto $z=\bar x\cdot y$ como una combinación de los productos de los factores de escala y la diferencia de las rotaciones (es decir, como una rotación relativa), y podría dar sentido geométrico a la rotación relativa.
El problema aquí es el hecho de que no se puede expresar rotaciones en el espacio de tres como fácilmente usando funciones trigonométricas. La más elegante de las descripciones son cuaterniones. Por lo tanto, yo no intento para romper este a funciones trigonométricas, pero deja en este nivel abstracto de la interpretación geométrica.
Sobre el privilegio de la primera eje percibida: en el quaternion mundo, la verdadera unidad es de hecho diferente de las tres unidades imaginarias, por lo que una ligera asimetría no es la esperada. Por otro lado, una vez que la plaza de cosas, usted puede fácilmente cambiar los signos en el interior de cada uno de los paréntesis. Si usted mueve de un tirón todos los signos para la $z_1$ fórmula, que cada una de las $z_{1234}$ (a partir de su formulación) tendría un signo menos y tres signos. Todavía habría diferencias de cómo mezclar términos, pero eso es porque aún su rotación relativa no puede ser descrita por un solo número, pero en su lugar ha de hacer referencia a algún sistema de coordenadas. Lo que tiene que esperar una mayor dependencia de los sistemas de coordenadas de allí, aunque la interpretación geométrica como he presentado, no depende de eso.
No sé lo suficiente acerca de la interpretación geométrica de la octonions para ampliar mi respuesta en la dirección de la suma de ocho plazas de la fórmula. El artículo de la Wikipedia sobre la normativa álgebras sugiere que al menos a mi punto principal, $\lVert x\rVert^2\cdot\lVert y\rVert^2=\lVert x+y\rVert^2$ se aplicará, teniendo en cuenta octonions como la fuente de la identidad parece derecho, con o sin interpretación geométrica.
