Una desigualdad relacionada con el real matrices

Question

Deje $A=\{a_{i,j}\}_{1\leq i,j\leq n}$ ser un cuadrado con un valor real de la matriz y $M>0$ tal que $$\left| \sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}t_{i}s_{j}\right|\leq M $$ es válido para cada valor real de las secuencias de $\{t_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{s_{j}\}_{j=1}^{n}$ satisfacción $\left| t_{i}\right|\leq 1$ $\left| s_{j}\right|\leq 1$ todos los $1\leq i,j\leq n$.

Mi pregunta es la siguiente:

Deje $B=\{b_{i,j}\}_{1\leq i,j\leq n}$ ser un valor real de la matriz de satisfacciones $\left| b_{i,j}\right|\leq 1$ todos los $1\leq i,j\leq n$. Demostrar que $$\left| \sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}b_{i,j}t_{i}s_{j}\right|\leq M $$ es válido para cada valor real de las secuencias de $\{t_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\{s_{j}\}_{j=1}^{n}$ satisfacción $\left| t_{i}\right|\leq 1$ $\left| s_{j}\right|\leq 1$ todos los $1\leq i,j\leq n$.

Estoy tratando de expresar $b_{i,j}$ $b_{i,j}=c_{i}d_{j}$ todos los $1\leq i,j\leq n$. Pero, en general, esta expresión es incorrecta, a menos que $rank(B)=1$. Hay otra forma de probar la desigualdad anterior?

Renovar mi pregunta: Gracias JimmyK4542 para dar el contraejemplo! ¿Bajo qué condiciones lo hace por encima de conclusión?

Answer 1

Contraejemplo: Para $n = 2$, definir la matriz $A$$a_{1,1} = a_{2,1} = a_{2,2} = 1$, e $a_{1,2} = -1$, definir la matriz $B$$b_{1,1} = b_{2,1} = b_{2,2} = 1$, e $b_{1,2} = -1$, y recoger $M = 2\sqrt{2}$.

Para cualquier $-1 \le t_1,t_2,s_1,s_2 \le 1$, podemos usar la de Cauchy-Schwarz Desigualdad para obtener

$\displaystyle\left|\sum_{1 \le i,j \le 2}a_{i,j}t_is_j\right| = |t_1s_1-t_1s_2+t_2s_1+t_2s_2| = |t_1(s_1-s_2)+t_2(s_1+s_2)|$

$\le \sqrt{t_1^2+t_2^2} \cdot \sqrt{(s_1-s_2)^2+(s_1+s_2)^2} = \sqrt{t_1^2+t_2^2} \cdot \sqrt{2(s_1^2+s_2^2)} \le 2\sqrt{2} = M$.

Sin embargo, para $t_1 = t_2 = s_1 = s_2 = 1$, tenemos

$\displaystyle\left|\sum_{1 \le i,j \le 2}a_{i,j}b_{i,j}t_is_j\right| = |t_1s_1+t_1s_2+t_2s_1+t_2s_2| = 4 > 2\sqrt{2} = M$.