Sabemos que si repetimos la aritmética y armónica medio de dos números, obtenemos su media geométrica.
Así que, básicamente, si tenemos que calcular la raíz cuadrada de $x$:
$$\sqrt{x}=\sqrt{1 \cdot x}=AHM(1,x)$$
$$a_0=1,~~~~b_0=x$$
$$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},~~~~~b_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}$$
Hasta donde yo sé, esta expresión se reunirán para cualquier real positivo $x$. Vea esta y esta pregunta por ejemplo.
Podemos tomar otros valores iniciales, por ejemplo,$x/2$$2$, pero tomando las $1$ es suficiente en la mayoría de los casos.
Yo sé, la idea es tan simple, es obvio. Pero no encontré este método en cualquier lugar entre los métodos para calcular raíces cuadradas.
Parece incluso mejor que el método de Newton, porque
- no necesitamos pensar acerca de los valores iniciales
- no necesitamos para comprobar nuestro resultado al cuadrado, solo necesitamos comprobar que $a_n-b_n=0$ con la precisión requerida.
Ejemplos (aquí la igualdad significa que el número de dígitos es el mismo):
$$x=2:~~~~a_4=b_4=1.414213562$$
$$x=\frac{1}{3}:~~~~a_5=b_5=0.5773502692$$
$$x=\frac{1}{14}:~~~~a_6=b_6=0.2672612419$$
$$x=13:~~~~a_6=b_6=3.605551275$$
$$x=517:~~~~a_{9}=b_{9}=22.73763400$$
Como se puede ver, incluso para los números no cierran a $1$, la convergencia es bueno.
Y yo no tenía ni siquiera para comprobar si mis valores son correctos - sólo necesitaba ver el $a_n$ $b_n$ y ver que los dígitos de la misma.
Este método es utilizado para calcular las raíces junto con el método de Newton y los demás? Si es así, podría proporcionar una referencia donde se discuten y en comparación con otros métodos? ¿Siempre trabajo de la manera que he descrito para cualquier positivos $x$?
