¿Alguien tiene una buena explicación de por qué Nudo invariantes tienden a estar bien organizados como los polinomios? Lo que está pasando exactamente y por qué no vemos a menudo polinomio invariantes para la clasificación de otros objetos geométricos? Por ejemplo, ¿por qué no nos acaba de decir que el Alexander invariantes son un conjunto finito de números? Presumiblemente, la organización de ellos en polinomios muestra algunos inherentes propiedades geométricas de nudo y descripción de la combinación, que es fácilmente encapsulado en la multiplicación y la suma de polinomios. Yo sería feliz (y no sorprendido) si esto también me ayuda a entender por qué Mienten álgebra representaciones, a menudo, también se presentan, especialmente en el más recientemente descubierto invariantes.
Respuestas
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No estoy de acuerdo con la hipótesis de la pregunta -- nudo invariantes no tienden a organizarse como polinomios. El Alexander módulo no es un polinomio. El grupo fundamental del complemento no es un polinomio. El complemento de un nudo no es un polinomio. Estos son algunos de los más fundamentales de los invariantes de un nudo, y no son polinomios.
Que dijo, polinomios invariantes se producen en el nudo de la teoría y hay un par de buenas razones. Uno es que los nudos hasta isotopía tiene la estructura de un conmutativa monoid en conectar-operación de suma. Invariablemente, cuando usted comienza a hablar de las funciones de un objeto $O$, le gusta hablar sobre el espacio vectorial/módulo de estructura de una función de este tipo de espacio, así que como para hablar de formal combinaciones lineales de objetos de $O$. La suma Formal y conectar suma giros de los nudos en un anillo conmutativo. Polinomio anillos son libres de anillos conmutativos, por lo que son fundamentales en los debates acerca de la estructura de anillos conmutativos. En el caso especial de los nudos en la $\mathbb R^3$, es un teorema de Schubert, que los nudos en estas dos operaciones son gratis un anillo conmutativo (la libre generadores de ser el "principal" nudos). Así que, en cierto sentido nudos puede ser pensado como un polinomio en forma de anillo.
Por lo que el resultado de esto es el estudio de "nudo invariantes", junto con el connect-operación de suma en los nudos de los prejuicios de la discusión hacia donde usted está preocupado con anillos conmutativos, y así conmutativa-anillo valorado invariantes. Así que por eso polinomio invariantes ocurrir tan a menudo.
Si usted fuera a estudiar las diferentes estructuras internas en los nudos, tal vez perjuicio de los tipos de invariantes utiliza para el estudio de nudos. El enredo de las categorías y categórica invariantes sería otro ejemplo. El nudo del complemento y la geometrización sería otro.
El único polinomio de invariantes de nudos que se me ocurre son los de Alejandro polinomio por un lado, y el polinomio de Jones y sus generalizaciones (HOMFLYPT et.al.) en el otro (sin tener en cuenta cosas como el 2-bucle polinomio). Es claro por qué el Alexander polinomio debe ser un polinomio es la generación de la función de la torsión de los números del nudo, como se explica en Rolfsen, y el Alexander módulo es finitely presentado.
¿Por qué el polinomio de Jones debe ser un polinomio es mucho más interesante pregunta, que se abordaron en el papel Es el polinomio de Jones de un nudo realmente un polinomio? por Garoufalidis y Le. Desde el TQFT perspectiva, se habría esperado que el quantum de invariantes para ser potencia de la serie, pero en realidad para los nudos que el polinomio de Jones es un polinomio, que es bastante interesante.
Así que supongo que no sé la razón fundamental por la que los nudos se han interesante polinomio invariantes. Siento que tiene que ser un secreto maravilloso escondía aquí! Me imagino que es en última instancia tiene que ver con la riqueza local de la estructura algebraica de un álgebra sobre un modular operad generados por los cruces, y tal vez trivalente vértices y otras cosas.
