Vamos a llamar a una variedad $X$ apropiado si la proyección de $Y\times X\rightarrow X$ es un cerrado mapa (donde $Y$ es cualquier variedad). He leído en Vakil de las notas que el propio es una versión de la compacidad en la geometría algebraica (AG) (por lo que se supone que es para compensar el error de Hausdorff condición). Quiero entender las consecuencias de este hecho. Por ejemplo, ¿qué tipo de operaciones/propiedades tenemos en el espacio proyectivo (debido al propio) que no existen en el afín caso?
Respuesta
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En la topología hemos conceptos de compacidad y un buen mapa, que es uno donde la preimagen de cualquier conjunto compacto es compacto. Primero vamos a ver lo que hace que estos conceptos útiles en la topología de la otra que la de poder trabajar siempre con finito cubre. Espacios compactos satisfacer algunas buenas propiedades. Por ejemplo, imágenes continuas de espacios compactos es compacto, cerrado subconjuntos de espacios compactos es compacto, compacto y los subespacios de un espacio de Hausdorff están cerrados.
Deje $f: X \to Y$ ser un mapa continuo de espacios. Si $X$ es compacto y $Y$ Hausdorff, a continuación, $f$ es cerrado y adecuado. Si $f$ es adecuado y $Y$ es localmente compacto y Hausdorff, a continuación, $f$ es cerrado. Si $X$ es Hausdorff y $Y$ es localmente compacto y Hausdorff, a continuación, $f$ es correcta si y sólo si $f \times \operatorname{id} : X \times Z \to Y \times Z$ está cerrado por cualquier $Z$. En particular, $X$ es compacto si y sólo si $X \to \operatorname{pt}$ es adecuado, por lo que si $X$ es Hausdorff, es compacto si y sólo si la proyección de $X \times Z \to Z$ es cerrado o cualquier $Z$.
Un argumento puede ser hecho de que en la topología, la mayoría del tiempo cuando se utiliza una compacidad o el propio supuesto de que usted probablemente se está utilizando una de estas propiedades anteriores. Así que, en cierto sentido, lo importante no es la compacidad o el propio sí mismo, pero estas propiedades particulares que la adecuada mapas y continua de los mapas de compacto de Hausdorff espacios. Ahora, en la geometría algebraica, debido a la Hausdorff supuesto, no podemos esperar que estas propiedades para ser cierto en general, pero, puesto que son muy útiles propiedades, que en lugar de hacerlos definiciones. Esto sigue a una filosofía general de la geometría algebraica que lo importante no es el de las propiedades de un espacio que se satisface sino más bien las propiedades de morfismos satisfacer.
Llamamos a una de morfismos $f: X \to Y$ separados si la diagonal de morfismos $X \to X \times_Y X$ es un cerrado de inmersión. Si sólo estás trabajando con variedades que probablemente usted no tiene que preocuparse de esto. Este toma el lugar de Hausdorff y, de hecho, es una condición que se asigna de Hausdorff espacios satisfacer. Llamamos a una de morfismos adecuada si se la separa y si por cualquier $Z$, $f \times \operatorname{id} : X \times Z \to Y \times Z$ es un cerrado mapa. Como se puede ver, este es exactamente el equivalente a la definición de la correcta en el sentido topológico al $X$ $Y$ fueron Hausdorff y $Y$ localmente compacto. Por último, hemos de decir $X$ es adecuada (respectivamente separados) si el morfismos $X \to \operatorname{pt}$ es adecuada (respectivamente separados), de nuevo, este es el análogo del hecho de que un espacio es compacto si y sólo si el mapa a un punto de que es correcto.
Ahora, con estas definiciones, podemos obtener análogos de las propiedades de continuo mapas de espacios compactos y de la adecuada mapas se indicó anteriormente, pero para la correcta morfismos de tomar el lugar de continua adecuada mapa y separados de tomar el lugar de Hausdorff. Es decir, cualquier morfismos es cerrado, si $f:X \to Y$ es una de morfismos con $X$ apropiado y $Y$ separados, a continuación, $f$ es un buen morfismos y en este caso $f(X)$ es la correcta (ver aquí). Este es el análogo del hecho de que las imágenes continuas de espacios compactos es compacto. Esta última afirmación se ilustra uno de los usefulnesses de propio: ni siquiera podríamos hablar de $f(X)$ la variedad de la si $f$ no fueron cerradas. Propio nos da una buena comprensión de la imagen de una de morfismos. Finalmente, cuando estamos trabajando a través de los números complejos, tenemos la topología compleja que podemos dar a $X$, en lugar del Zariski. Entonces tenemos que $X$ es adecuado como una variedad si y sólo si a es compacto en la topología compleja y una de morfismos $f:X \to Y$ de variedades adecuadas de morfismos si y sólo si es continua adecuada mapa de la topología compleja. Así, en los números complejos los conceptos realmente hacer coincidir.
Ahora voy a darle un poco más algebraicas de las aplicaciones de la adecuada morfismos y por qué queremos. En primer lugar, como he dicho, propio nos da una buena manera de hablar de las imágenes de morfismos, ya que va a ser cerrado subvariedades. En particular, se tiene necesidad de tener un lugar bien definido pushforward de divisores (o, más en general algebraica de los ciclos). Así que el grupo de Picard, o más en general, el Chow grupos, una especie de homología de la teoría de variedades, son sólo functorial para la correcta morfismos.
Del mismo modo, para cualquier morfismos $f:X \to Y$ y coherente de la gavilla $\mathcal{F}$ $X$ podemos definir el pushfoward gavilla $f_*\mathcal{F}$. En general, esta gavilla no es coherente, pero si $f$ es la adecuada, entonces es. De hecho, para las variedades $f$ es correcta si y sólo si el pushfoward $f_*$ siempre conserva coherente de las poleas.
Una más a la tierra de la aplicación es el siguiente bien conocido teorema acerca de las variedades que vale para cualquier variedades apropiadas. Si $X$ es correcta, entonces la única regular de las funciones de $X$ son constantes.
Finalmente, uno muy útil, pero el técnico teorema adecuado de morfismos satisfacer es el adecuado cambio de base teorema. Esto le da a usted, por ejemplo, una muy útil criterio para el pushforward de un haz localmente libre: bajo ciertas condiciones, si $f:X \to Y$ es adecuado y $\mathcal{F}$ es coherente gavilla en $X$, $f_*\mathcal{F}$ es localmente libre si y sólo si la dimensión global de las secciones de $\mathcal{F}$ son constantes en las fibras de $f$.
