Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisface $$f(e^x) = e^{f(x)},$$ debe también ser una función exponencial?
Respuestas
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Si sustituimos $y=e^x$ tenemos $$ f(y)=e^{f(\log y)} $$ lo que significa que usted puede elegir arbitraria de los valores de $f$$(-\infty,0]$, y los valores para cada positivos argumento a continuación se da mediante la aplicación de la por encima de la recursividad de un número finito de veces.
Por otro lado, cada función definida en el sentido indicado anteriormente será necesariamente satisface la ecuación funcional.
Si desea que la solución sea continuo (o suave) a $x=0$, los valores iniciales que se necesitan para que encajen correctamente, pero todavía hay mucha libertad para elegir. Por ejemplo, usted puede elegir una forma suave de la función para $f$ $[-\frac12,\frac12]$ con la restricción de que $f$ es positivo en $(0,\frac12]$. A continuación, la recurrencia se puede correr hacia atrás para darle valores en $(-\infty,-\log2]$, y usted puede entonces elegir una suave puente segmento en $(-\log2,-\frac12)$.
Si desea $f$ a ser real, analítica, considerablemente más delicadeza que podría ser necesaria, no es claro para mí de improviso si hay cualquier otras soluciones, además de la identidad y de la $\exp^n$.
Adam Malter
Puntos
96
Tenga en cuenta que para cualquier $x\in\mathbb{R}$, no hay una única $n\in\mathbb{N}$ $y\in (-\infty,0]$ tal que $x=\exp^n(y)$ (donde $\exp^n$ significa que iterar la función exponencial $n$ veces): para encontrar$n$$y$, tomar iterada logaritmos de $x$ hasta llegar a un valor no positivo de número; que el valor no positivo de número de $y$, e $n$ es el número de los logaritmos que tuvo que tomar. Así que ahora vamos a $g:(-\infty,0]\to\mathbb{R}$ ser cualquier función en todos y definir $f(x)=\exp^n(g(y))$ donde $n$ $y$ satisfacer $x=\exp^n(y)$. A continuación, $f(\exp(x))=\exp(f(x))$ todos los $x$, ya que el $\exp(x)$ va a tener el mismo $y$ e su $n$ será incrementado por $1$.
Así que hay muchas de esas funciones $f$, uno para cada función de $g:(-\infty,0]\to\mathbb{R}$. No es difícil ver que cada una de dichas $f$ debe ser obtenido de esta manera (ya que se puede recuperar $g$ $f$ como la restricción de $f$$(-\infty,0]$, y esto determina todos los otros valores de $f$ desde $f$ deben de viajar con $\exp$).
