La función de Lyapunov para $x'' + \epsilon x^2x' + x = 0$

Question

Estoy estudiando el libro de Holmes y Guckenheimer, y soy relativamente nuevo en todo esto de Lyapunov funciones, por lo que estoy tratando de hacer todos los ejercicios en el mismo. Actualmente estoy atascado con el ejercicio 1.3.1. Se trata de la ecuación de $x'' + \epsilon x^2 x' + x = 0$,$\epsilon > 0$, que tiene la particularidad de que cuando se alinee los autovalores tienen parte real nula, por lo que no podemos aplicar el teorema que dice que hay un homeomorphism entre los flujos. El ejercicio pide a demostrar a través de una función de Lyapunov que el punto de $x=0, x'=0$ es assimptotically estable.

Mi primera idea fue una función muy sencilla $V(x,y) = \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2}$ donde $y=x'$, y llegué a $V'(x,y) = -\epsilon x^2y^2$ lo cual no es suficiente (la derivada es a lo largo de las curvas) para demostrar assimptotic estabilidad. Entonces traté de algo a lo largo de las líneas de un ejemplo anterior en el libro, $V(x,y) = \frac{x^2}{2} + \alpha \frac{y^2}{2} + \gamma xy$, pero ahora$V' = xy(\cdots) + \gamma(y^2 - x^2)$, por lo que no puedo obtener ninguna estabilidad de aquí.

Cualquier consejo será muy apreciada.

Answer 1

Está claro que $\epsilon>0$ para la estabilidad del origen.

Por lo tanto $V' =0$ sólo al $x=0$ o $y=0$. Ni $x \equiv 0$ o $y \equiv 0$ son invariables, excepto en el origen. Por lo tanto, por La Salle teorema, el origen es globalmente asintóticamente estable.

Nota: Esto es para responder a la pregunta en la OP del comentario.

No estoy seguro de que usted puede hacer sin La Salle teorema ya que es la única herramienta que tenemos al $V'$ es semi-definida.

Yendo al problema original, las ecuaciones son $$\begin{align} x' &= y \\ y'&= -x - \epsilon x^2 y \end{align}$$ Si nos vamos a $$V(x,y)=\frac{x^2+y^2}{2}$$ entonces a lo largo de cualquier trayectoria $$V' = x x' + y y' = -\epsilon x^2 y^2 \le 0$$

Ahora $V$ disminuye, excepto cuando se $x=0$ o $y=0$ o ambos.

1) Supongamos que en algún momento en el tiempo, $x =0$$y \neq 0$. A continuación,$x' \neq 0$, e $x$ tendrá que cambiar y ser $\neq 0$.

2) Suponga que en algún momento en el tiempo, $x \neq 0$$y=0$. A continuación, $y' \neq 0$ $y$ tendrá que cambiar y ser $\neq 0$.

Así, la trayectoria no pueden permanecer en $x=0$ o $y=0$ menos que ambos son cero, es decir, en el equilibrio. Por lo tanto $V$ tiene que disminuir para siempre.

La Salle teorema establece que los $V \rightarrow 0$ y por lo tanto el sistema es globalmente asintóticamente estable.