Determinar el número de formas de distribuir dieciséis piezas idénticas de dulces cinco no-idénticos a los niños...

Question

Siempre que el muchacho más joven que debe recibir no más piezas que cualquiera de los otros. Todos los niños son de diferentes edades.

Sólo quiero asegurarme de que mi lógica es correcta...

Así que, usando el principio del palomar, uno de los niños tendrá, al menos, 4 piezas, porque 16/5 = 3 resto 1 Con eso en mente, lo que significa que el hijo menor debe ser la obtención de 3 piezas en la mayoría de los. Supongo que tiene sentido asignar primero el 0, 1, 2, o 3 para cada uno, a continuación, vaya acerca de la asignación del resto. Dicho esto, habrá 4 casos:

1) Dar a cada 0, asignar los 16 a los otros 4: C(20, 16)

2) Dar a cada 1, asignar los 11 a los otros 4: C(15,11)

3) Dar a cada 2, asignar 6 a 4: C(10,6)

4) Dar a cada 3, asignar 1 a 4: C(5,1)

A continuación, nos gustaría añadir a todos ellos...

Puede llegar a la respuesta correcta?

Answer 1

Demos el hijo más joven de $0,1,2,3$ dulces y el mismo número a los otros cuatro (porque no pueden conseguir menos)

Así el problema se reduce a la distribución de $16, 11, 6, 1$ caramelos de cualquier manera a la otra $4$ niños

Consideremos, por ejemplo, $6$ caramelos $\;\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\;$ para ser distribuido.

Dividir entre el $4$ de los niños, usted tiene que dibujar tres divisores.
Un par de ejemplos ilustrativos son:

$\;\bullet\bullet|\bullet|\bullet\bullet|\bullet\;\;$ lo que representa una distribución de $\;2-1-2-1$

$\;\bullet|\bullet\bullet\bullet\bullet|\bullet|\;\;$ lo que representa una distribución de $\;1-4-1-0$

$\;|\bullet\bullet|\bullet\bullet\bullet|\bullet\;\;$ lo que representa una distribución de $\;0-2-3-1$ y así sucesivamente.

En otras palabras, tenemos que poner el $3$ divisores en el lote de $9$ símbolos en $\binom93$ formas

Lo mismo para el otro $3$ de los casos, por lo ans = $\binom{19}{3} + \binom{14}3 + \binom93 +\binom43 = 1421\;$ maneras.

La técnica es conocida como "estrellas y barras", y usted puede tener una explicación formal de la misma aquí

Answer 2

El hijo menor es fijo. Por tanto, como usted dice que él no puede recibir más de tres piezas. Nos referimos a casos como usted ha dicho, pero quiero señalar un pequeño defecto en su argumento.

Caso 1: El muchacho más joven que recibe $3$ piezas. Así que hay $13$ piezas a la izquierda de los otros cuatro niños, pero tenga en cuenta que cada niño debe recibir al menos $3$ piezas. Por lo tanto $13-12=1$ pieza que queda después de dar tres para cada uno de los otros cuatro hijos, pero esta pieza puede ser dado a cualquiera de ellos, y que se puede hacer en $4^C_1=4$ maneras.

Caso 2: El muchacho más joven que recibe $2$ piezas. Así que hay $14$ piezas a la izquierda de los otros cuatro niños, pero tenga en cuenta que cada niño debe recibir al menos $2$ piezas. Por lo tanto $14-8=6$ piezas quedan después de dar dos para cada uno de los otros cuatro hijos, y ahora usted tiene que encontrar el número de maneras en que usted puede distribuir $6$ caramelos a $4$ niños. Para esto, dibuje seis puntos como este: $$ ...... $$ Tenga en cuenta que mediante la colocación de 3 bares entre los puntos, los separamos en diferentes particiones de puntos: $$ ..|..|.|. $$ Lo anterior corresponden a los dos primeros hijos de conseguir dos más dulces y los próximos dos conseguir uno más cada uno. Del mismo modo, $$ |.....||. $$ correspondería a la primera y la tercera a los niños de no obtener más dulces, el segundo hijo obteniendo $5$ más dulces, y el cuarto consiguiendo $1$ más dulces.

Por lo tanto, el número de formas de distribución de los caramelos es el número de maneras de poner $3$ bares en $9$ de los espacios,debido a que el número total de barras y los puntos es $9$ y usted tiene que decidir cuales son las tres barras y las seis puntos, la respuesta a la que se $^9C_3 = 84$.

Caso 3: El muchacho más joven que recibe $1$ pieza. Así que hay $15$ piezas a la izquierda de los otros cuatro niños, pero tenga en cuenta que cada niño debe recibir al menos $1$ piezas. Por lo tanto $15-4=11$ piezas quedan después de dar una a cada uno de los otros cuatro niños, y el uso de una lógica similar a la anterior, el restante 11 chocolates puede ser dado a la $4$ de los niños en $^{14}C_3=364$ maneras.

Caso 4: El muchacho más joven que recibe ninguna de sus piezas. Así que hay $16$ piezas a la izquierda de los otros cuatro niños, y el uso de una lógica similar a la anterior, la $16$ chocolates puede ser dado a la $4$ de los niños en $^{19}C_3=969$ maneras.

El total, entonces, viene a ser $1421$. Usted debe pensar acerca de lo que sucede si se fijan dos hijos,y si los dos niños son gemelos idénticos.