demostrando la continuidad con funciones monótonas

Question

Deje $f:\left(0,\infty\right)\longrightarrow\mathbb{R}$ ser una función monótonamente creciente.

Deje $g:\left(0,\infty\right)\longrightarrow\mathbb{R}$ , $g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}$ es un monótonamente decreciente de la función.

Cómo puedo probar que $f$ es continua?

Answer 1

Desde $f$ es una función monótonamente creciente, tenemos para todos los $a>0$, $$b=\lim_{x\uparrow a} f(x) \le \lim_{x\downarrow a} f(x)=c.$$ Entonces $$\lim_{x\uparrow un} \frac{f(x)}{x} =\frac ba \le \frac ca =\lim_{x\downarrow un} \frac{f(x)}{x}.$$ Pero si la función de $x\mapsto f(x)/x$ es monótonamente decreciente, a continuación, $$\lim_{x\uparrow un} \frac{f(x)}{x} \ge \lim_{x\downarrow un} \frac{f(x)}{x}.$$ Por lo tanto, estos últimos dos límites laterales son iguales, por lo $g$ es continua. Si $x\mapsto g(x)$ es continuo,$x\mapsto xg(x)$, siendo el producto de dos funciones continuas, es también continua.

Answer 2

en cada una de las $x\in (0,\infty)$ la cara de los límites de $f$ $x$ debe existir y debe satisfacer la evidente desigualdad. Hacer lo mismo para $g$ y a la conclusión de que la derecha y la izquierda de los límites de $f$ debe ser igual y desde $f$ es monótona, se deduce que el $f$ es continua en a $x$.