Cómo encontrar todos los ideales de una determinada norma?

Question

Estoy trabajando en una pregunta:

Encontrar todos los ideales de norma $10$ $\mathcal{O}_K$ donde $K=\mathbb{Q}(\sqrt{35})$.

Me da la pista:

Observar que $(2)=(2,\alpha)^2, (5)=(5,\alpha)^2, (\alpha)=(2,\alpha)(5,\alpha)$ donde $\alpha=5+\sqrt{35}$.

Así que puedo decir que $(2,\alpha)$ es de norma 2, $(5,\alpha)$ es de la norma 5, $(\alpha)$ es de la norma 10. Creo que, para encontrar todos los ideales de la norma 10 yo primero debe encontrar todos los ideales de norma 2 y 5, ya que cualquier ideal de norma 10 factorizes en primer ideales de normas 2 y 5.

Pero en general, ¿cómo puedo encontrar todos los ideales de norma 2, 5?

Answer 1

También puede acercarse a este de la siguiente manera:

Si $I$ es un ideal de norma $10$, el grupo aditivo de $\mathcal O_K/I$ es un grupo abelian con $10$ elementos, por lo tanto isomorfo a $\mathbb Z/10\mathbb Z$. Obtenemos $\mathcal O_K/I \cong \mathbb Z/10\mathbb Z$ como anillos, como la estructura de anillo de un grupo cíclico está determinada únicamente por $1 \cdot 1 = 1$.

Así los ideales de norma $10$ están en bijective correspondencia a surjective anillo de mapas de $\mathcal O_K \to \mathbb Z/10\mathbb Z$. Por el homomorphism teorema de tales mapas corresponden a los mapas de $\mathbb Z[X] \to \mathbb Z/10\mathbb Z$, los cuales se asignan $X^2-35$ a cero. Por la característica universal del polinomio anillo, los mapas corresponden a elementos de la $a \in \mathbb Z/10\mathbb Z$$a^2-35=a^2-5=0$. Llegamos $a=5$ como única solución. Va a revertir en nuestros argumentos, esto nos da el mapa de $\mathbb Z[\sqrt{35}] \to \mathbb Z/10\mathbb Z, a+b\sqrt{35} \mapsto a+5b$ con kernel $(5+\sqrt{35})$. Este es el único ideal de norma $10$.

Después de "recibimos $a=5$ como la única solución", podría detener y ser como "el Uso de resumen de los argumentos, me demostró que existe un único tal ideal. La sugerencia me da uno de esos ideales. Así que estoy hecho".

Answer 2

El ideal de $(p)$ es el producto de todos los primos ideales de norma una potencia de $p$ (con multiplicidad igual a la ramificación de índice).