En un ejercicio anterior, a uno se le pidió a mostrar que la secuencia de $(x_n)_{n > 0}$ $X$ ($(X,d)$ no está vacío, espacio métrico completo) en el que nos ha $d(x_n,x_{n+1}) \leq \theta d(x_{n-1} , x_n ) $, es convergente (con $0 < \theta < 1$). Hice esto muestra que $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy.
En el presente ejercicio, la siguiente: $f : X \to X$ es un mapa tal que para todos los $x,y \in X$ tenemos $d(f(x),f(y)) \leq \theta d(x,y) $, con $0 < \theta <1$.
Ahora se le pide que muestre que existe una $z \in X$, de tal manera que $f(z) = z$.
La siguiente sugerencia es: recoger algunas $z_0 \in X$ y considerar la secuencia de $(z_0, f(z_0), f(f(z_0)), \dots ).)$.
La pregunta es: ¿cómo puedo demostrar que hay algo de $z$ tal que $f(z) = z$ ? He intentado utilizar el resultado del ejercicio anterior, pero yo no podía entender cómo usarlo, ni sé cómo utilizar la pista.
