La formación de siete de la carta de las palabras utilizando las letras de la palabra $\text{SUCCESS}$

Question

Si usted tiene la paciencia por favor lee todo el post. He dejado claro cuál era mi línea de pensamiento en cada paso que yo hice.

Enunciado Del Problema:-

Cuántas palabras de siete letras formadas por las letras de la palabra $\text{SUCCESS}$, de modo que

$\text{(i)}$ dos $\text{C's}$ están juntos, pero no los dos a $\text{S's}$.

$\text{(ii)}$ ninguno de los dos $\text{C's}$ ni a los dos $\text{S's}$ están juntos.

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Mi Intento de solución:-

$\text{(i) Part - 1}$

• $\text{1}^\text{st}$ Enfoque:-

Ya que tenemos que ordenar las letras de tal manera que el $\text{C's}$ ocurren juntos, pero el $\text{S's}$ no, así que de primera se combinan los dos $\text{C's}$ juntos en una sola entidad, reduciendo el total de letras(o entidades) a $6$. Puesto que el $\text{S's}$ no debería ocurrir de forma consecutiva(que es lo que deduzco de las "dos \text{S} no deben estar juntos" en la pregunta") en primer lugar, organizar el resto de las letras(o entidades) que son $\{\text{U,CC,E}\}$.

$$\_\;\text{U}\;\_\;\text{CC}\;\_\;\text{E}\;\_$$

Después de organizar estas cartas vemos que hay $4$ vacíos en los que el $3 \text{ S's}$ puede ser colocado de manera que ninguno de los $\text{S's}$ están juntos, también las cartas que fueron organizadas antes de la $\text{S's}$ pueden arreglar entre sí en $3!$ maneras.

Así, el número total de maneras en que podemos organizar el dado cartas para que los dos $\text{C's}$ ocurren juntos, pero no hay dos $\text{S's}$ ocurren conjuntamente$=\displaystyle\binom{4}{3}\cdot3!=24$

Pero el libro de texto nos da la respuesta como $12$.

Ahora, sólo para comprobar si mi primer intento de la $\text{1}^\text{st}$ parte de la pregunta era correcta o no me he decidido a acercarse a ella de manera diferente.

• $\text{2}^\text{nd}$ Enfoque:-

El número de formas en que los dos $\text{C's}$ ocurren conjuntamente$=\dfrac{6!}{3!}$

Puesto que no hay dos $\text{S's}$ debe ocurrir juntos, por eso

El número de maneras en que no hay dos $\text{C's}$ y no hay dos $\text{S's}$ ocurren juntos$=\text{Total number of permutations $-$ Number of ways in which two $\texto{C}$ and two $\text{S}$ occur together}$

Ahora, vamos a calcular el número de maneras en que los dos $\text{S's}$ y dos $\text{C's}$ ocurren juntos. El número de maneras en que será en la que nos grupo de dos a $\text{C's}$ y dos $\text{S's}$ a, digamos, una super $\Bbb{C}$ y una super $\Bbb{S}$. Así, tenemos que organizar $\{\text{S,U,$\Bbb{C}$,E,$\Bbb{S}$}\}$, que se puede hacer en $5!$ maneras.

Después de empezar a trabajar en este enfoque me encontré con que hay un poco de confusión que tengo que si tres $\text{S's}$ podría ocurrir juntos o no.

Si se puede, entonces tenemos que excluir a la permutación en la que tres $\text{S's}$ y dos $\text{C's}$ ocurren simultáneamente de la permutación de dos $\text{C's}$ y dos $\text{S's}$ (de modo que tal vez se cuentan en el total de la cuenta), que está dada por $4!$.

Así, el número de maneras en que no hay dos $\text{C's}$ y no hay dos $\text{S's}$ ocurren juntos, se convierte en $$\dfrac{6!}{3!}-(5!-4!)=24$$.

Pero, si el tres $\text{S's}$ no pueden ocurrir juntos, tenemos la permutación de las letras bajo el supuesto de condición como $$\dfrac{6!}{3!}-5!=0$$

Este enfoque resultó ser más confuso, teniendo en cuenta cómo llegué $0$ formas cuando el tres $\text{S's}$ no pueden ocurrir juntos que creo que no es correcto, ya que una simple ejemplo contrario es $\text{SUSCCES}$.

$\text{(ii) Part - 2}$

• $\text{1}^\text{st}$ Enfoque:-

En este Enfoque que utiliza el número de formas en que los dos $\text{C's}$ ocurren juntos, pero no los dos a $\text{S's}$, por lo que este puede actuar también como la verificación de la respuesta de la $1^\text{st}$ part.

En primer lugar, se encuentra el número de formas en que los dos $\text{S's}$ no ocurren juntos, que pueden ser encontrados por el método del déficit de la siguiente manera $$\_\;\text{U}\;\_\;\text{C}\;\_\;\text{C}\;\_\;\text{E}\;\_$$

Ya tenemos $5$ lagunas, por lo que el $3\text{ S's}$ puede ser colocado en $\binom{5}{3}$ formas seguido por la disposición de las letras de antemano en $\dfrac{4!}{2!}$. Así, obtenemos el número de formas en que los dos $\text{S's}$ no ocurren juntos como $$\binom{5}{3}\cdot\dfrac{4!}{2!}=120$$

Ahora, de esto podemos excluir el número de formas en que los dos $\text{C's}$ se producen junto con los dos $\text{S's}$ no ocurren simultáneamente, la cual está dada por:-

1. si tenemos en cuenta que el primer enfoque de la primera parte de la pregunta, y la primera suposición de que el segundo enfoque, como correcta, a continuación,$=\displaystyle\binom{4}{3}\cdot3!=24$
2. Si tenemos en cuenta que el segundo supuesto de que el segundo enfoque de la primera parte como correcta, a continuación, $0$ (vamos a salir de esta, ya sabemos que existe algún error en el que yo he hecho)

Así, el número total de maneras en que ninguno de los dos $\text{C's}$ ni a los dos $\text{S's}$ están juntos=$$\binom{5}{3}\cdot\dfrac{4!}{2!} - \displaystyle\binom{4}{3}\cdot3!=120-24=\boxed{96}$$

Viola, la respuesta de la segunda parte es correcta, por lo que el libro le da la respuesta equivocada para la primera parte.

Ahora, teniendo en cuenta el libro dio la respuesta incorrecta y la primera suposición de que el segundo enfoque en la primera parte fue correcta(sí, se parece a un laberinto para mí ahora para indicar todo esto XD), yo pensaba que de la aplicación de algunas de TARTA para mi segundo método.

• $\text{2}^\text{nd}$ Enfoque:-

Desde este enfoque está inspirado en el primer supuesto en el 2º enfoque para la primera parte, así que supuse que lo que el problema implica la afirmación de "los dos $\text{S's}$ están juntos" es que sólo dos de las $\text{S's}$ debe ocurrir en un tiempo.

Así, considere los siguientes conjuntos $$\Rightarrow \text{Todas las permutaciones que incluyen dos C junto}\\ B\rightarrow \text{Todas las permutaciones que son sólo dos de S juntos}$$

Así, $$|A|=\dfrac{6!}{3!}=120\\ |B|=\dfrac{6!}{2!}(\rightarrow\text{dos S ocurren juntos})-\dfrac{5!}{2!}(\rightarrow\text{tres S ocurren juntos})=300\\ |A\cap B|=5!(\rightarrow\text{C dos y dos S se producen simultáneamente})-4!(\rightarrow\text{C dos y tres S ocurre simultáneamente a})=96$$

Ahora, como por el PASTEL, tenemos $$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=120+300-96=420-96$$

Ahora, $\left(A\cup B\right)^c=\left(A^c\cap B^c\right)$, e $\left(A^c\cap B^c\right)\implies \text{two C's don't occur together and two S's don't occur together}$ $$\|(A\cup B)^c|=|(A^c\cap B^c)|=\dfrac{7!}{3!\times2!}-|A\cup B|=420-(420-96)=\boxed{96}$$

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Conclusión: Lo que me molesta.

• Lo que está mal con el segundo supuesto de que el segundo enfoque en la respuesta a la primera parte de la pregunta que estoy consiguiendo $0$ como el respuesta dado que ya he puesto un contador de ejemplo que dice que hay de hecho más de $0$ maneras.

• Me parece que el lenguaje de la cuestión bastante confuso. "Los dos $\text{S's}$" parte me confunde más. ¿Qué significa que sólo dos de las $\text{S's}$ debe ocurrir juntos y no tres de ellos. En mi opinión, la mención de la LA en "LOSdos $\text{S's}$" dice que sólo los dos $\text{S's}$ debe venir juntos que inicialmente estaban juntos en la palabra $\text{SUCCESS}$ fueron los $\text{S's}$ considera que es diferente, pero como el S son indistinguibles, lo que hace que la declaración de "sólo dos de los tres $\text{S's}$ debe ocurrir juntos".

• Por último, me encontré con la misma pregunta como la segunda parte de la pregunta y uno de los solucionesaunque se veía muy lucrativo, me parece que no puede entender cómo fue formulado, si usted piensa que puede ser entendida por un estudiante tener conocimiento de secundaria de matemáticas y lo que me parece un poco de conocimiento de ingeniería de matemáticas a continuación, puede iluminar me como a la forma en que fue formulada.

Answer 1

La redacción de la pregunta es atroz. Vamos a suponer que la intención de la pregunta era

¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra ÉXITO si

1. los dos C están juntos, pero no hay dos de las tres S están juntos?
2. no hay dos letras adyacentes son idénticos?

Su primera solución a la primera pregunta es correcta. El libro la respuesta es incorrecta.

En cuanto a la segunda solución, necesitamos excluir aquellos acuerdos en los cuales consecutivos de S aparecen. Observe que al restar el $5!$ arreglos en los que dos están juntos, se resta acuerdos en los que todos los tres S están juntos dos veces, una vez cuando se cuenta con acuerdos en los cuales los dos primeros de los tres consecutivos de S son contados como su doble S y una vez que se cuenten los acuerdos en los cuales los dos últimos de los tres consecutivos de S son contados como su doble S. en consecuencia, al aplicar la Inclusión-Exclusión Principio, debe agregar el $4!$ arreglos en los que tres consecutivos de S aparecen de manera que los arreglos en la que tres consecutivos de S aparecen sólo están excluidos de una vez. Que los rendimientos de $$\frac{6!}{3!} - 5! + 4!$$ lo que equivale a la respuesta
$$\frac{6!}{3!} - (5! - 4!)$$ obtiene cuando se supone que tres consecutivos de S podría no aparecer.

En cuanto a la segunda pregunta, que usted también se resuelve correctamente, aquí hay dos enfoques.

Primer enfoque: Considere los casos.

Hay $3!$ arreglos de U, CC, E, donde la doble C es tratada como una sola letra. Para asegurarse de que no hay dos idénticos cartas son consecutivas, se debe insertar una S entre los dos C. Supongamos que tenemos un arreglo de la forma $$UCSCE$$
Para asegurarse de que el S están separados, debemos colocar los dos restantes S en uno de los cuatro espacios indicados por una cuña $$\wedge U \wedge C S C \wedge E \wedge$$ Hay $$3!\binom{4}{2} = 36$$ distinguible de los arreglos de las letras de ÉXITO en los que no hay dos consecutivos cartas son idénticas y los dos C están separados por un único S.

En el resto de los arreglos, la C, deben estar separados por una letra distinta de una sola S. No se $2!$ arreglos de las letras U y E, que crea tres vacíos en los que podemos colocar los dos C.
$$\wedge U \wedge E \wedge$$ Ya podemos llenar dos de estas tres brechas en $\binom{3}{2}$ formas, hay $$2! \cdot \binom{3}{2} = 3!$$ arreglos de U, C, C, E en el que los dos C están separados. Supongamos que tenemos un acuerdo, tales como $$C U C E$$ Para asegurar las tres S también están separados, se debe colocar una " S " en tres de los cinco lugares indicados por una cuña $$\wedge C \wedge U \wedge C \wedge E \wedge$$ Por lo tanto, hay $$2!\binom{3}{2}\binom{5}{3} = 60$$ los arreglos de las letras de ÉXITO en los que no hay dos cartas son idénticas y el C están separados por una letra distinta de una sola S.

Ya que los casos son distintos, hay $$3!\binom{4}{2} + 2!\binom{3}{2}\binom{5}{3} = 36 + 60 = 96$$ los arreglos de las letras de la palabra ÉXITO en la que no hay dos consecutivos cartas son idénticas.

Segundo método: podemos aplicar la Inclusión-Exclusión Principio considerando parejas de cartas idénticas. El número total de distinguible de los arreglos de las siete letras de la palabra ÉXITO es $$\frac{7!}{3!2!}$$ donde el $3!$ en el denominador representa el número de maneras en que podemos permutar las tres S dentro de un determinado acuerdo, sin producir un arreglo que es distinguible de la dada de acuerdo y el $2!$ en el denominador representa el número de maneras en que podemos permutar las dos C dentro de un determinado acuerdo, sin producir un arreglo que es distinguible del arreglo.

Hemos de excluir los acuerdos en los cuales los pares de cartas idénticas son adyacentes.

Un par de las cartas idénticas

Un par de consecutivos C: el Tratamiento de la doble C como una sola letra, por lo que estamos arreglando los seis objetos S, S, S, U, E, CC, que se puede hacer en $$\frac{6!}{3!}$$ distinguir formas.

Un par de consecutivos de S: el Tratamiento de un doble S como una sola letra, por lo que estamos arreglando los seis objetos de las SS, S, U, E, C, C, que se puede hacer en $$\frac{6!}{2!}$$ distinguir formas.

Dos parejas de cartas idénticas

Un par de consecutivos C y un par de consecutivos de S: debemos organizar CC, SS, S, U, E, que se puede hacer en $$5!$$ maneras.

Dos pares consecutivos de S: Ya que hay sólo tres S en el ÉXITO, los dos pares consecutivos de S debe ser un bloque de tres consecutivos S. Por lo tanto, debemos organizar los cinco objetos de SSS, C, C, U, E, que se puede hacer en $$\frac{5!}{2!}$$ distinguir formas.

Tres parejas de cartas idénticas consecutivas

Un par de consecutivos de C y dos pares consecutivos de S: Esto sólo puede ocurrir si hay un doble C y una triple S, por lo que debemos organizar los cuatro objetos CC, SSS, U, E, que se puede hacer en $$4!$$ distinguir formas.

Por la Inclusión-Exclusión Principio, el número de distinguible de los arreglos de las letras de la palabra ÉXITO en la que no hay dos consecutivos cartas son idénticas es
$$\frac{7!}{2!3!} - \frac{6!}{3!} - \frac{6!}{2!} + 5! + \frac{5!}{2!} - 4! = 96$$ La respuesta a la que se enlaza requiere mucho conocimiento más profundo de las matemáticas de la que se describe en su post.

Answer 2

Así, en primer lugar, su respuesta a la primera pregunta es correcta; debe ciertamente ser 24. La única manera en que podría no ser de 24 es la pregunta que de alguna manera implica que el S eran distinguibles, y sólo los últimos 2 son restringidos de estar juntos. Pero en ese caso, las posibles permutaciones contendría como un subconjunto de las permutaciones en el que ninguno de los 3 S están juntos, así que la respuesta sería entonces MAYOR que 24. Así que, no importa nuestra interpretación, la respuesta podría de ninguna manera ser de 12, y el libro de texto debe tener un error de la respuesta. Dado que, en realidad sólo tiene sentido suponer que los S son indistinguibles, y así que la respuesta es, de hecho, 24 (si tienes alguna duda, puedes fácilmente la lista de los 24 permutaciones en las que no hay dos S ocurren juntos). Lo que es más, como lo que puedo decir, su metodología de acercarse a la segunda pregunta es completamente correcto.

El problema que tienes es que has confundido usted con respecto a esta pregunta de las tres S que aparecen juntos. El problema se restringe a dos S que se adyacentes, que claramente también restringe todos los tres de los lados adyacentes (tenga en cuenta que su primer acercamiento, sin duda, hace de esta restricción). Pero su segundo enfoque para el primer problema parece decir que no hay permutaciones en las que no hay tres S están juntos.

A ver si el error se cometió, volvamos a la cuestión del número de permutaciones de las letras del alfabeto {S,U,$\Bbb{C}$,E$\Bbb{S}$}. Eran las letras de este alfabeto verdaderamente independiente, no sería $5!$ permutaciones, como usted dice (y posteriormente a la conclusión de que la respuesta a la primera pregunta es $0$). El problema es que S$\Bbb{S}$ es idéntica a $\Bbb{S}$S, pero el $5!$ respuesta cuenta estos distintos-- que es, $5!$ doble cuenta el caso de todos los tres S que aparecen juntos. Así, para contar el único órdenes de {S,U,$\Bbb{C}$,E$\Bbb{S}$}, tenemos que tomar en $5!$ menos el número de maneras en que los tres S pueden ocurrir juntos. ESTA es la razón por la que restar $4!$, NO porque estamos permitiendo que la respuesta final a incluir permutaciones que tienen todos los tres S juntos. Si vamos a permitir la respuesta final a incluir tales permutaciones, tendríamos que restar el $4!$ dos veces: una vez para evitar la doble contabilización, y luego de nuevo para eliminar el término en su totalidad.

Sobre el último punto, no creo que haya una manera fácil y directamente a ver la relación entre los coeficientes de los polinomios $q_k(x)$ y el problema de alfabeto de permutaciones no hay dos letras adyacentes idéntico-es sólo una cuestión de demostrar la equivalencia. En ese sentido, yo no diría que es estrictamente más allá del alcance de un estudiante de la escuela secundaria familiarizado con el cálculo integral, pero no espero es trivial, ya sea (no he intentado el álgebra a mí mismo). Si ayuda a la fórmula más sentido, la integral con la función exponencial, es relevante debido a la identidad de $\Gamma(k)=\int_0^\infty x^ke^{-x}dx=k!$$k\in\Bbb{N}$.