Medico adjunto de $L^{1}$ espacio

Question

Tengo una pregunta acerca de $L^{p}$ espacios.

Pregunta: Deje $(X,\Sigma,\mu)$ $\sigma$- finito medir el espacio.

Consideremos $f \in L^{1}(X)$ que satisface la siguiente propiedad: \begin{align*} \forall g \in L^{1}(X) \cap L^{\infty}(X), \int_{X}fgd\mu=0 \end{align*} Esto implica $f=0$ ?

Mi intento:

Si $L^{1}(X)\cap L^{\infty}(X)$ es denso en $L^{\infty}(X)$ tiene entonces podemos obtener la siguiente declaración: \begin{align*} \forall g \in L^{\infty}(X), \int_{X}fgd\mu=0 \end{align*} Esto implica $f=0$ (por Hahn-Banach del teorema). Podemos demostrar que $L^{1}(X)\cap L^{\infty}(X)$ es denso en $L^{\infty}(X)$?

Answer 1

Como se sugiere en el comentario, no es cierto en general que $L^1(X)\cap L^\infty(X)$ es denso en $L^\infty(X)$.

De hecho, podemos utilizar el "modo estándar" para lidiar con su pregunta.

En primer lugar, para cada una de las $g \in L^1(X)\cap L^\infty(X)$, considere la posibilidad de

$$\text{sgn}(f) g =\begin{cases} g & \text{ if } f>0 \\-g & \text{ if } f<0\end{cases}$$

A continuación,$\text{sgn}(f) g \in L^1(X) \cap L^\infty(X)$, y

$$ 0 = \int_X f (\text{sgn}(f) g) d\mu = \int_X |f| g. $$

Por lo tanto $|f|$ también satisface la condición. Ahora podemos mostrar $f = 0$ $\mu$ una.e. mostrando $|f| = 0$ $\mu$ una.e.. no Asumir. Consideremos el conjunto a $A = \{ |f| >0\}$, tenemos

$$A = \bigcup_{n\in \mathbb N} \left\{ |f| \ge 1/n\right\}$$

entonces no es$n$, de modo que $\mu(\left\{ |f| \ge 1/n\right\}) >0$. Este conjunto de ( $B$ ) es de medida finita, como $|f|\in L^1(X)$. Por lo tanto $1_B \in L^1(X) \cap L^\infty(X)$ y

$$ \int_X |f| 1_B d\mu = \int_B |f| d\mu > \frac 1n \mu(B) >0,$$

lo cual es una contradicción.