Supongamos que $f:X\to Y$ es bijective. Luego hay un par de cosas útiles para nota/probar:
(1) $f$ es continua si y sólo si $f\left(\overline{A}\right)\subseteq\overline{f(A)}$ todos los $A\subseteq X$. De la misma manera, $f^{-1}:Y\to X$ es continua si y sólo si $f^{-1}\left(\overline{A}\right)\subseteq\overline{f^{-1}(A)}$ todos los $A\subseteq Y$.
(2) $f$ es una tarjeta abierta si y sólo si $f^{-1}:Y\to X$ es continua.
(3) habida cuenta de $A\subseteq X,B\subseteq Y$, $f(A)\subseteq B$ si y sólo si $A\subseteq f^{-1}(B)$.
Es más que suficiente para empezar?
Ahora, supongamos que $f:X\to Y$ es 1-a-1, pero no necesariamente en. Poner a $Z=f(X)$, $f:X\to Z$ es un bijection, y $f^{-1}:Z\to X$ está perfectamente bien definidos. Ahora, voy a darle un poco alterado versiones de las anteriores sugerencias (y añadir otro) para adaptarse a su cambio a la pregunta. Aunque, primero, voy a definir la siguiente notación para evitar confusiones:
Dado un subconjunto $S$ a de un espacio topológico $T$, ahora vamos a denotar el cierre de $S$ $T$ $\text{cl}_T(S)$. (Ya que estamos tratando con diferentes espacios, es una buena idea hacer un seguimiento de dónde están las cosas.)
Ahora, queremos mostrar que $f$ es un homeomorphism de $X$ $Z$ (en lugar de a $Y$) si y sólo si $$\forall A\subseteq X,\:f\bigl(\text{cl}_X(A)\bigr)=\text{cl}_Y\bigl(f(A)\bigr).\tag{#}$$
Ahora, vamos a modificar mi lista de útiles notas/resultados-a-ser-probado.
(1) $f:X\to Z$ es continua si y sólo si $f\bigl(\text{cl}_X(A)\bigr)\subseteq\text{cl}_Z\bigl(f(A)\bigr)$ todos los $A\subseteq X.$ En el mismo camino, $f^{-1}:Z\to X$ es continua si y sólo si $f^{-1}\bigl(\text{cl}_Z(A)\bigr)\subseteq\text{cl}_X\bigl(f(A)\bigr)$ todos los $A\subseteq Z.$
(2) $f:X\to Z$ es una tarjeta abierta si y sólo si $f^{-1}:Z\to X$ es continua.
(3) habida cuenta de $A\subseteq X,B\subseteq Y$, $f(A)\subseteq B$ si y sólo si $A\subseteq f^{-1}(B)$. (Esto también es cierto si reemplazamos $Y$$Z.$)
(4) $S\subseteq Z$ es cerrado en $Z$ si y sólo si hay algún $F\subseteq Y$ tal que $S=F\cap Z$ $F$ es cerrado en $Y;$ $\text{cl}_Z(S)=Z\cap\text{cl}_Y(S)$ todos los $S\subseteq Z.$
Espero que te llevará a donde usted necesita ir.
