Integración por sustitución: seguimiento

Question

Esta es una pregunta de seguimiento, a la que pido aquí. Gono de la respuesta indica que los siguientes es verdadera:

Supongamos que $f:I \to \Bbb R$ es continua y $\varphi: [a,b] \to I$ es continuamente diferenciable. Entonces se tiene $$ \int _{{a}}^{{b}}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,{\mathrm {d}}t=\int _{{\varphi (un)}}^{{\varphi (b)}}f(x)\,{\mathrm {d}}x $$ Esto es independientemente de si $\varphi$ es inyectiva

Yo había estado bajo la impresión de que esto era sólo garantiza que ser válido si $\varphi$ es inyectiva, ya que la inyectividad es una de las condiciones que se dan en un ajuste multivariante. De hecho, yo creía que tenía un contraejemplo en mi pregunta. Nota, sin embargo, que con el ejemplo que me dio, el $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ resultante de mi sustitución no pudo coincidir con el integrando $t^4$$[-1,1]$.

Así que, aquí está mi pregunta: es la declaración de arriba verdad? Hay una declaración correspondiente que tiene en la generalización multivariante independientemente de si $\varphi$ es inyectiva?

Answer 1

Vamos \begin{align*} F(u) &= \int _{{a}}^{{u}}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,{\mathrm {d}}t \\ G(u) &=\int _{{\varphi (a)}}^{{\varphi (u)}}f(x)\,{\mathrm {d}}x\end{align*}

A continuación, $F$ $G$ son funciones con la misma derivada en todas partes (es decir,$F'(u)= f(\varphi (u))\cdot \varphi '(u)$, y con el mismo valor (cero) a $u= a$ por Lo tanto tienen el mismo valor en $b$. En resumen, esto es simplemente una aplicación de dos partes de la FTC, además de la regla de la cadena.

Para el ajuste multivariante, la cuestión de la orientación se convierte en realmente importante, y no sé una manera fácil de decir el derecho multi-variable de instrucción. Es algo así como "si φφ mapas de los límites del dominio en una orientación de la preservación de la forma, y [probablemente algunas otras cosas aquí], entonces la integral es el mismo". Pero nunca he visto escrito. Tenemos la ventaja de 1-dimensional de las integrales que la inversión de los límites significa algo. :)